Jadi kita memiliki mean aritmatika (AM), mean geometrik (GM) dan rata-rata harmonik (HM). Formulasi matematis mereka juga terkenal bersama dengan contoh-contoh stereotip mereka yang terkait (misalnya, rata-rata Harmonik dan aplikasinya untuk masalah-masalah terkait 'kecepatan').
Namun, pertanyaan yang selalu membuat saya penasaran adalah "bagaimana cara saya memutuskan mana yang paling tepat untuk digunakan dalam konteks tertentu?" Harus ada setidaknya beberapa aturan praktis untuk membantu memahami penerapan, namun jawaban paling umum yang saya temui adalah: "Itu tergantung" (tetapi pada apa?).
Ini mungkin tampaknya menjadi pertanyaan yang agak sepele, tetapi bahkan teks sekolah menengah gagal menjelaskan ini - mereka hanya memberikan definisi matematika!
Saya lebih suka penjelasan bahasa Inggris daripada matematika - tes sederhana adalah "apakah ibu / anak Anda memahaminya?"
Jawaban:
Jawaban ini mungkin memiliki sedikit bengkok matematis daripada yang Anda cari.
Hal yang penting untuk dikenali adalah bahwa semua cara ini hanyalah rata-rata aritmatika yang menyamar .
Karakteristik penting dalam mengidentifikasi mana (jika ada!) Dari tiga cara umum (aritmatika, geometris atau harmonik) adalah rata-rata "benar" adalah untuk menemukan "struktur aditif" dalam pertanyaan yang dihadapi.
Dengan kata lain misalkan kita diberi beberapa jumlah abstrak , yang akan saya sebut "pengukuran", agak menyalahgunakan istilah ini di bawah demi konsistensi. Masing-masing dari ketiga cara ini dapat diperoleh dengan (1) mengubah setiap x i menjadi beberapa y i , (2) mengambil rata-rata aritmatika dan kemudian (3) mentransformasikan kembali ke skala pengukuran asli.x1,x2,…,xn xi yi
Berarti aritmatika : Jelas, kami menggunakan transformasi "identitas": . Jadi, langkah (1) dan (3) sepele (tidak ada yang dilakukan) dan ˉ x A M = ˉ y .yi=xi x¯AM=y¯
Berarti geometris : Di sini struktur aditif adalah pada logaritma pengamatan asli. Jadi, kita ambil dan kemudian untuk mendapatkan GM di langkah (3) kita mengonversi kembali melalui fungsi invers dari log , yaitu, ˉ x G M = exp ( ˉ y ) .yi=logxi log x¯GM=exp(y¯)
Rata-rata harmonik : Di sini struktur aditif berada pada kebalikan dari pengamatan kami. Jadi, , dari mana ˉ x H M = 1 / ˉ y .yi=1/xi x¯H M.= 1 / y¯
Dalam masalah fisik, ini sering muncul melalui proses berikut: Kami memiliki sejumlah yang tetap dalam kaitannya dengan pengukuran kami x 1 , … , x n dan beberapa jumlah lainnya, katakanlah z 1 , … , z n . Sekarang, kita memainkan permainan berikut: Usahakan w dan z 1 + ⋯ + z n konstan dan cobalah untuk menemukan beberapa ˉ x sehingga jika kita mengganti setiap pengamatan individual kita x i dengan ˉ xw x1, ... , xn z1, ... , zn w z1+ ⋯ + zn x¯ xsaya x¯ , maka hubungan "total" masih dilestarikan .
Contoh jarak – kecepatan – waktu tampaknya populer, jadi mari kita gunakan.
Jarak konstan, waktu bervariasi
Pertimbangkan jarak tetap yang ditempuh . Sekarang anggaplah kita perjalanan jarak ini n waktu yang berbeda pada kecepatan v 1 , ... , v n , mengambil kali t 1 , ... , t n . Kami sekarang memainkan permainan kami. Misalkan kita ingin mengganti kecepatan kita masing-masing dengan beberapa kecepatan tetap ˉ v sehingga total waktu tetap konstan. Perhatikan bahwa kita memiliki d - v i t i = 0d n v1, ... , vn t1, ... , tn v¯
sehingga β i ( d - v i t i ) = 0 . Kami inginhubungantotalini(total waktu dan total jarak yang ditempuh) dilestarikan ketika kami mengganti masing-masing v i dengan ˉ v dalam game kami. Oleh karena itu,
n d - ˉ v Σ i t i = 0
Perhatikan bahwa "struktur aditif" di sini berkenaan dengan waktu individu, dan pengukuran kami berbanding terbalik dengan mereka, maka rata-rata harmonik berlaku.
Memvariasikan jarak, waktu konstan
Sekarang, mari kita ubah situasinya. Misalkan untuk contoh kita perjalanan waktu yang tetap t pada kecepatan v 1 , ... , v n jarak d 1 , ... , d n . Sekarang, kami ingin jarak total dilestarikan. Kami memiliki d i - v i t = 0n t v1, ... , vn d1, ... , dn
dan sistem total dilestarikan jika ∑ i ( d i - v i t ) = 0 . Dengan memainkan permainan kami lagi, kami mencari ˉ v sedemikian rupa sehingga
∑ i ( d i - ˉ v t ) = 0
Di sini struktur aditif yang kita coba pertahankan sebanding dengan pengukuran yang kita miliki, sehingga rata-rata aritmatika berlaku.
Kubus volume yang sama
Sarana baru dari yang lama
Latihan : Apa arti "alami" dalam situasi ini?
sumber
Memperluas komentar luar biasa @Brandon (yang menurut saya harus dipromosikan untuk menjawab):
Rerata geometris harus digunakan ketika Anda tertarik pada perbedaan multiplikasi. Brandon mencatat bahwa rata-rata geometrik harus digunakan ketika rentangnya berbeda. Ini biasanya benar. Alasannya adalah kami ingin menyamakan rentang. Sebagai contoh, misalkan pelamar kuliah dinilai pada skor SAT (0 hingga 800), nilai rata-rata kelas di HS (0 hingga 4) dan kegiatan ekstrakurikuler (1 hingga 10). Jika sebuah perguruan tinggi ingin meratakan ini dan menyamakan kisaran (yaitu, kenaikan berat dalam setiap kualitas relatif terhadap kisaran) maka rerata geometris akan menjadi jalan yang harus ditempuh.
Tetapi ini tidak selalu benar ketika kita memiliki skala dengan rentang yang berbeda. Jika kita membandingkan pendapatan di negara yang berbeda (termasuk yang miskin dan kaya), kita mungkin tidak menginginkan rata-rata geometris, tetapi rata-rata aritmatika (atau, lebih mungkin, median atau mungkin rata-rata yang dipangkas).
Satu-satunya penggunaan yang saya lihat untuk rata-rata harmonik adalah membandingkan tingkat. Sebagai contoh: Jika Anda berkendara dari New York ke Boston pada 40 MPH, dan kembali pada 60 MPH, maka rata-rata keseluruhan Anda bukan rata-rata aritmatika 50 MPH, tetapi rata-rata harmonik.
sumber
Saya akan mencoba merebusnya menjadi 3-4 aturan praktis dan memberikan beberapa contoh lagi cara Pythagoras.
Hubungan antara 3 berarti adalah HM <GM <AM untuk data non-negatif dengan beberapa variasi . Mereka akan sama jika dan hanya jika tidak ada variasi sama sekali dalam data sampel.
Untuk data dalam level, gunakan AM. Harga adalah contoh yang bagus. Untuk rasio, gunakan GM. Pengembalian investasi, harga relatif seperti indeks Bloomberg Billy (harga rak buku Ikea Billy di berbagai negara dibandingkan dengan harga AS) dan Indeks Pembangunan Manusia PBB adalah contoh. HM tepat ketika berhadapan dengan kurs. Berikut adalah contoh milik David Giles dari non-otomotif :
David juga membahas versi tertimbang dari 3 cara, yang muncul dalam indeks harga yang digunakan untuk mengukur inflasi.
A Hijacky Aside:
ROT ini tidak sempurna. Sebagai contoh, saya sering merasa sulit untuk mencari tahu apakah ada yang menilai atau rasio. Pengembalian investasi biasanya diperlakukan sebagai rasio ketika menghitung sarana, tetapi mereka juga tingkat karena mereka biasanya didenominasikan dalam "x% per unit waktu." Apakah "menggunakan HM ketika data adalah level per unit waktu" menjadi heuristik yang lebih baik?
Jika Anda ingin meringkas Indeks Big Mac untuk negara-negara Eropa Utara, apakah Anda akan menggunakan GM?
sumber
Sebuah jawaban yang mungkin untuk pertanyaan Anda ("bagaimana saya memutuskan mean mana yang paling tepat untuk digunakan dalam konteks tertentu?") Adalah definisi mean yang diberikan oleh matematikawan Italia Oscar Chisini .
Berikut ini makalah dengan penjelasan yang lebih rinci dan beberapa contoh (rata-rata kecepatan perjalanan dan lain-lain).
sumber
Saya pikir cara sederhana untuk menjawab pertanyaan itu adalah:
Rata-rata harmonik = 2ab / (a + b) = a (b / a + b) + b (a / (a + b)
Misalnya: rata-rata biaya dolar termasuk dalam kategori ini karena jumlah uang yang Anda investasikan (A) tetap, tetapi harga per saham (P) dan jumlah saham (N) berbeda-beda (A = PN). Bahkan, jika Anda menganggap rata-rata aritmatika sebagai angka yang sama-sama berpusat di antara dua angka, rata-rata harmonik juga merupakan angka yang sama-sama berpusat di antara dua angka tetapi (dan ini bagus) "pusat" adalah tempat persentase (rasio) berada sama. Yaitu: (x - a) / a = (b -x) / b, di mana x adalah rata-rata harmonik.
sumber
$x$
\frac{a}{b}