Misalkan kita memiliki variabel acak independen , , X_n dengan sarana hingga \ mu_1 \ leq \ ldots \ leq \ mu_N dan varian \ sigma_1 ^ 2 , \ ldots , \ sigma_N ^ 2 . Saya mencari batasan bebas distribusi dengan kemungkinan bahwa setiap X_i \ neq X_N lebih besar dari semua X_j lainnya , j \ neq i .
Dengan kata lain, jika untuk kesederhanaan kami menganggap distribusi adalah kontinu (sedemikian sehingga ), saya mencari batasan pada:
Jika , kita dapat menggunakan ketidaksetaraan Chebyshev untuk mendapatkan:
Saya ingin menemukan batas sederhana (tidak harus ketat) untuk N umum , tetapi saya belum dapat menemukan (secara estetika) hasil yang menyenangkan untuk N umum .
Harap dicatat bahwa variabel tidak dianggap iid. Setiap saran atau referensi untuk pekerjaan terkait dipersilakan.
Pembaruan: ingat bahwa dengan asumsi, . Kita kemudian dapat menggunakan batas di atas untuk sampai pada:
Ini menyiratkan:
Ini, pada gilirannya, menyiratkan:
Saya sekarang bertanya-tanya apakah ini terikat dapat ditingkatkan untuk sesuatu yang tidak bergantung linear pada . Misalnya, apakah yang berikut ini berlaku:
Dan jika tidak, apa yang bisa menjadi contoh tandingan?
Jawaban:
Anda dapat menggunakan ketidaksetaraan Chebyshev multivarian.
Kasus dua variabel
Untuk satu situasi, vs , saya tiba di situasi yang sama dengan komentar Jochen pada 4 November 2016X1 X2
1) Jika makaμ1<μ2 P(X1>X2)≤(σ21+σ22)/(μ1−μ2)2
(Dan saya ingin tahu juga tentang derivasi Anda)
Penurunan persamaan 1
Kasus Multivarian
Ketidaksamaan dalam persamaan (1) dapat diubah menjadi kasus multivariat dengan menerapkannya ke beberapa variabel yang diubah untuk setiap (perhatikan bahwa ini berkorelasi).(Xn−Xi) i<n
Solusi untuk masalah ini (multivarian dan berkorelasi) telah dijelaskan oleh I. Olkin dan JW Pratt. 'A Multivariate Tchebycheff Inequality' dalam Catatan Sejarah Statistik Matematika, volume 29 halaman 226-234 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706720
Perhatikan teorema 2.3
di mana jumlah variabel, , dan .p t=∑k−2i u=∑ρij/(kikj)
Teorema 3.6 memberikan batasan yang lebih ketat, tetapi kurang mudah untuk dihitung.
Edit
Ikatan yang lebih tajam dapat ditemukan menggunakan ketimpangan Cantelli multivariat . Ketidaksamaan itu adalah tipe yang Anda gunakan sebelumnya dan memberi Anda batasan yang merupakan lebih tajam dari .(σ21+σ22)/(σ21+σ22+(μ1−μ2)2) (σ21+σ22)/(μ1−μ2)2
Saya belum meluangkan waktu untuk mempelajari seluruh artikel, tetapi bagaimanapun, Anda dapat menemukan solusinya di sini:
AW Marshall dan I. Olkin 'Ketimpangan Satu Sisi dari Tipe Chebyshev' dalam Catatan Statistik Matematika volume 31 hal. 488-491 https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705913
(catatan selanjutnya: Ketidaksetaraan ini adalah untuk korelasi yang sama dan bukan bantuan yang cukup. Tetapi bagaimanapun juga masalah Anda, untuk menemukan ikatan yang paling tajam, sama dengan ketidaksamaan Cantelli multivariat yang lebih umum. Saya akan terkejut jika solusinya tidak ada)
sumber
Saya telah menemukan teorema yang dapat membantu Anda dan akan mencoba menyesuaikannya dengan kebutuhan Anda. Asumsikan Anda memiliki:
Kemudian oleh ketidaksetaraan Jensen (karena exp (.) Adalah fungsi cembung), kita mendapatkan:
Sekarang untuk Anda harus memasukkan apa pun fungsi penghasil momen variabel acak (karena itu hanya definisi mgf). Kemudian, setelah melakukannya (dan berpotensi menyederhanakan istilah Anda), Anda mengambil istilah ini dan mengambil log dan membaginya dengan t sehingga Anda mendapatkan pernyataan tentang istilah . Kemudian Anda dapat memilih t dengan beberapa nilai arbitrer (terbaik sehingga istilahnya kecil sehingga ikatannya ketat).exp(t⋅Xi Xi E(max1≤i≤nXi)
Kemudian, Anda memiliki pernyataan tentang nilai yang diharapkan dari nilai maksimum di atas n rvs. Untuk mendapatkan sekarang pernyataan tentang probabilitas bahwa maksimum rv itu menyimpang dari nilai yang diharapkan ini, Anda bisa menggunakan ketidaksetaraan Markov (dengan asumsi bahwa rv Anda tidak negatif) atau rv lain yang lebih spesifik, berlaku untuk rv khusus Anda.
sumber