Jika X dan Y tidak berkorelasi, apakah X ^ 2 dan Y juga tidak berkorelasi?

29

Jika dua variabel acak dan tidak berkorelasi, bisa kita juga tahu bahwa dan berkorelasi? Hipotesis saya adalah ya. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

tidak berkorelasi berarti , atau $X, Y$ $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

Apakah itu juga berarti yang berikut?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence Vegard Stikbakke
sumber

4

Iya nih. Pertanyaan ini telah ditanyakan dan dijawab sebelumnya tetapi saya tidak dapat menemukan referensi spesifik dari perangkat seluler saya.

Dilip Sarwate

2

@DilipSarwate tampaknya jawaban yang diterima sudah memberikan contoh balasan.

Vim

8

@DilipSarwate Anda harus berarti "Tidak" dan bukan "Ya" dalam komentar Anda!

Amoeba berkata Reinstate Monica

11

@amoeba Versi asli pertanyaan yang diajukan tentang independensi yang jawabannya memang Ya. Sejak itu telah diedit untuk bertanya tentang variabel acak yang tidak berkorelasi. Saya tidak dapat mengubah komentar saya sekarang.

Dilip Sarwate

Pertanyaan aslinya cukup membingungkan, karena menggunakan definisi kemerdekaan yang salah. Pertanyaan saat ini masih bingung, karena menegaskan pengurangan yang tidak tepat dari tidak berkorelasi (mengasumsikan

). Saya harap @vegardstikbakke membaca definisi yang tepat tentang independen dan tidak berkorelasi, dengan beberapa contoh.

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

Meni Rosenfeld

Jawaban:

59

Tidak. Contoh tandingan:

Biarkan didistribusikan secara seragam pada , . $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

Kemudian dan juga ( adalah fungsi aneh), jadi tidak berkorelasi. $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

Tetapi $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

Ketidaksetaraan terakhir mengikuti dari ketimpangan Jensen. Ini juga mengikuti dari fakta bahwa karena tidak konstan. $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

Masalah dengan alasan Anda adalah bahwa mungkin bergantung pada dan sebaliknya, sehingga kesetaraan kedua dari belakang Anda tidak valid. $f_X$ $y$

Jakub Bartczuk
sumber

8

Tidak perlu membuatnya lebih rumit dengan ketidaksetaraan Jensen;

adalah variabel acak non-negatif, dan bukan

wp 1, jadi

(atau Anda bisa melakukan

dan mudah melihat positifnya).

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

Batman

1

Anda juga harus menambahkan plot. Saya telah mempertimbangkan contoh serupa (Y = | X | pada -1: +1) tetapi akan disajikan secara visual.

Anony-Mousse

2

@Batman Saya tidak benar-benar melihat bagaimana itu memberi Anda apa pun karena kami tertarik jika

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

Jakub Bartczuk

1

@ Anony-Mousse Tidak perlu membatasi Y. Y = | X | memenuhi persyaratan.

Loren Pechtel

LorenPechtel untuk visualisasi. Karena IMHO lebih baik untuk melihat mengapa ini bisa terjadi, dan bukan hanya hasil matematika yang diinginkan.

Anony-Mousse

20

Bahkan jika , tidak hanya mungkin bahwa dan berkorelasi, tetapi mereka bahkan mungkin berkorelasi sempurna, dengan : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

Atau : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

$X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

$X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

Gegat
sumber

9

$E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

Luca Citi
sumber