Kapan hukum jumlah besar gagal?

Pertanyaannya hanyalah apa yang dinyatakan dalam judul: Kapan hukum jumlah besar gagal? Yang saya maksudkan adalah, dalam hal apa frekuensi acara tidak cenderung ke probabilitas teoretis?

Ada dua teorema (dari Kolmogorov) dan keduanya mensyaratkan bahwa nilai yang diharapkan terbatas. Yang pertama berlaku ketika variabel IID, yang kedua, ketika pengambilan sampel independen dan varians dari $X_n$ memuaskan

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$$

Katakan bahwa semua memiliki nilai yang diharapkan 0, tetapi variansnya adalah n 2 sehingga kondisinya jelas gagal. Lalu apa yang terjadi? Anda masih dapat menghitung perkiraan rata-rata, tetapi itu berarti tidak akan cenderung ke 0 saat Anda mencicipi lebih dalam dan lebih dalam. Ini akan cenderung semakin menyimpang saat Anda terus mengambil sampel.$X_n$$n^2$

Mari kita beri contoh. Katakanlah adalah seragam U ( - n 2 n , n 2 n ) sehingga kondisi di atas gagal secara epik.$X_n$$U(-n2^n , n2^n)$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$$

Dengan memperhatikan itu

$$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$$

kita melihat dengan induksi bahwa rata-rata yang dihitung selalu dalam interval ( - 2 n , 2 n ) . Dengan menggunakan rumus yang sama untuk n + 1 , kami juga melihat bahwa selalu ada yang lebih besar kesempatan dari 1 / 8 yang ˉ X n + 1 kebohongan luar ( - 2 n , 2 n ) . Memang, X n + $\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$n+1$$1/8$$\bar{X}_{n+1}$$(-2^n, 2^n)$ adalah seragamU(-2n+1,2n+1)dan kebohongan luar(-2n,2n)dengan probabilitas1/4. Di sisi lain,$\frac{X_{n+1}}{n+1}$$U(-2^{n+1},2^{n+1})$$(-2^n, 2^n)$$1/4$adalah di(-2n,2n)dengan induksi, dan dengan simetri itu positif dengan probabilitas1/2. Dari pengamatan ini mengikuti segera bahwa ˉ X n+1lebih besar dari2natau lebih kecil dari-2n, masing-masing dengan probabilitas lebih besar dari1/16. Karena probabilitas bahwa| ˉ X n+1| $\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$1/2$$\bar{X}_{n+1}$$2^n$$-2^n$$1/16$ lebih besar dari 1 / 8 , tidak mungkin ada konvergensi ke 0 sebagai n pergi ke infinity.$|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$$1/8$$n$

Sekarang, secara khusus menjawab pertanyaan Anda, pertimbangkan sebuah acara . Jika saya mengerti dengan baik, Anda bertanya "dalam kondisi apa pernyataan berikut salah?"$A$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$$

di mana adalah fungsi indikator dari peristiwa A , yaitu 1 A ( X k ) = 1 jika X k ∈ A dan 0 sebaliknya dan X k didistribusikan secara identik (dan didistribusikan seperti X ).$1_A$$A$ $1_A(X_k) = 1$$X_k \in A$$0$$X_k$$X$

Kita melihat bahwa kondisi di atas akan bertahan, karena varians dari fungsi indikator dibatasi di atas oleh 1/4, yang merupakan varians maksimum dari variabel Bernouilli 0-1. Namun, apa yang bisa salah adalah asumsi kedua dari hukum yang kuat dari sejumlah besar, yaitu pengambilan sampel independen . Jika variabel acak tidak sampel independen maka konvergensi tidak terjamin.$X_k$

$X_k$$X_1$$k$$n$$A$