Apa perbedaan antara fungsi yang menghasilkan momen dan fungsi yang menghasilkan probabilitas?

Saya bingung antara dua istilah "fungsi yang menghasilkan probabilitas" dan "fungsi yang menghasilkan momen." Bagaimana perbedaan istilah-istilah itu?

Fungsi menghasilkan probabilitas biasanya digunakan untuk variabel acak bernilai integer (tidak negatif), tetapi sebenarnya hanya pengemasan ulang dari fungsi pembangkit momen. Jadi keduanya berisi informasi yang sama.

Biarkan menjadi variabel acak non-negatif. Kemudian (lihat https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) fungsi menghasilkan probabilitas didefinisikan sebagai G ( z ) = E z X dan fungsi menghasilkan momen adalah M X ( t ) = E e t X Sekarang tentukan log z = t sehingga e t = z . Kemudian G ( z ) = E z X = $X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ Jadi, untuk menyimpulkan, hubungannya sederhana: G ( z ) = M X ( log z $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

$G(z) = M_X(\log z)$$z$

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$

Mari kita mendefinisikan keduanya terlebih dahulu lalu tentukan perbedaannya.

1) Dalam teori probabilitas dan statistik, fungsi penghasil momen (mgf) dari variabel acak bernilai nyata adalah spesifikasi alternatif dari distribusi probabilitasnya.

2) Dalam teori probabilitas, fungsi pembangkitan probabilitas (pgf) dari variabel acak diskrit adalah representasi rangkaian daya (fungsi pembangkit) dari fungsi massa probabilitas dari variabel acak.

$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

Seperti yang ditunjukkan oleh @kjetilbhalvorsen, pgf berlaku untuk variabel-variabel acak non-negatif dan bukan hanya diskrit. Dengan demikian, entri Wikipedia saat ini dalam fungsi menghasilkan probabilitas memiliki kesalahan kelalaian, dan harus ditingkatkan.