Penjelasan intuitif tentang root unit

Bagaimana Anda menjelaskan secara intuitif apa itu unit root, dalam konteks uji unit root?

Saya berpikir dengan cara menjelaskan seperti yang saya temukan dalam pertanyaan ini .

Kasus dengan unit root adalah bahwa saya tahu (sedikit, omong-omong) bahwa tes root unit digunakan untuk menguji stasioneritas dalam deret waktu, tetapi hanya itu saja.

Bagaimana Anda menjelaskannya kepada orang awam, atau kepada orang yang telah mempelajari probabilitas dan statistik yang sangat mendasar?

MEMPERBARUI

Saya menerima jawaban whuber karena itulah yang paling mencerminkan apa yang saya tanyakan di sini. Tetapi saya mendesak semua orang yang datang ke sini untuk membaca jawaban Patrick dan Michael juga, karena mereka adalah "langkah selanjutnya" yang wajar dalam memahami Unit Root. Mereka menggunakan matematika, tetapi dengan cara yang sangat intuitif.

Dia baru saja datang ke jembatan; dan tidak melihat ke mana dia pergi, dia tersandung sesuatu, dan kerucut itu tersentak keluar dari cakarnya ke sungai.

"Repot," kata Pooh, ketika melayang perlahan di bawah jembatan, dan dia kembali untuk mengambil kerucut lain yang memiliki sajak. Tetapi kemudian dia berpikir bahwa dia hanya akan melihat sungai saja, karena itu adalah hari yang damai, jadi dia berbaring dan melihatnya, dan perlahan-lahan menyelinap di bawahnya. . . dan tiba-tiba, ada juga cone cone-nya yang hilang.

"Itu lucu," kata Pooh. "Aku menjatuhkannya di sisi lain," kata Pooh, "dan keluar di sisi ini! Aku ingin tahu apakah itu akan melakukannya lagi?"

AA Milne, Rumah di Pooh Corner (Bab VI. Di mana Pooh menciptakan permainan baru dan ia bergabung.)

Ini adalah gambar aliran di sepanjang permukaan air:

Panah menunjukkan arah aliran dan dihubungkan oleh garis arus. Sebuah kerucut cemara akan cenderung mengikuti garis jatuh di mana ia jatuh. Tapi itu tidak selalu melakukannya dengan cara yang sama setiap kali, bahkan ketika itu jatuh di tempat yang sama di sungai: variasi acak di sepanjang jalurnya, disebabkan oleh turbulensi di air, angin, dan tingkah alam lainnya menendang ke tetangga. garis aliran.

Di sini, kerucut cemara dijatuhkan di dekat sudut kanan atas. Ini lebih atau kurang mengikuti garis aliran - yang menyatu dan mengalir turun dan ke kiri - tetapi butuh sedikit jalan memutar di sepanjang jalan.

"Proses autoregresif" (proses AR) adalah urutan angka yang dianggap berperilaku seperti aliran tertentu. Ilustrasi dua dimensi sesuai dengan proses di mana setiap angka ditentukan oleh dua nilai sebelumnya - ditambah "jalan memutar" acak. Analogi ini dibuat dengan menginterpretasikan setiap pasangan berturut-turut dalam urutan sebagai koordinat suatu titik dalam aliran. Instan dengan instan, aliran aliran mengubah koordinat kerucut cemara dengan cara matematika yang sama yang diberikan oleh proses AR.

Kita dapat memulihkan proses asli dari gambar berbasis aliran dengan menulis koordinat setiap titik yang ditempati oleh kerucut cemara dan kemudian menghapus semua kecuali nomor terakhir dalam setiap set koordinat.

Alam - dan aliran khususnya - lebih kaya dan lebih bervariasi daripada aliran yang sesuai dengan proses AR. Karena setiap angka dalam urutan diasumsikan tergantung dengan cara tetap yang sama pada pendahulunya - terlepas dari bagian jalan memutar acak - aliran yang menggambarkan proses AR menunjukkan pola yang terbatas. Mereka memang bisa mengalir seperti sungai, seperti yang terlihat di sini. Mereka juga bisa terlihat seperti berputar-putar di selokan. Aliran dapat terjadi secara terbalik, tampak menyembur keluar dari saluran pembuangan. Dan mereka dapat terlihat seperti mulut dua aliran yang saling berhimpitan: dua sumber air mengalir satu sama lain dan kemudian membelah ke samping. Tapi itu saja. Anda tidak dapat memiliki, katakanlah, aliran yang mengalir dengan pusaran ke samping. Proses AR terlalu sederhana untuk itu.

Dalam aliran ini, kerucut cemara dijatuhkan di sudut kanan bawah dan dengan cepat dibawa ke eddy di kanan atas, meskipun ada sedikit perubahan acak pada posisi yang dijalaninya. Tapi itu tidak akan pernah berhenti bergerak, karena gerakan acak yang sama yang menyelamatkannya dari dilupakan. Koordinat kerucut cemara bergerak sedikit - memang, mereka terlihat berosilasi, secara keseluruhan, di sekitar koordinat pusat eddy. Dalam aliran sungai pertama, koordinat bergerak maju tak terhindarkan di sepanjang pusat sungai, yang dengan cepat menangkap kerucut dan membawanya lebih cepat daripada jalan memutar acak yang bisa memperlambatnya: mereka tren dalam waktu. Sebaliknya, berputar-putar di sekitar eddy mencontohkan alat tulisproses dimana cone cemara ditangkap; mengalir jauh ke bawah sungai, di mana kerucut mengalir keluar dari pandangan - tren - tidak stasioner.

Kebetulan, ketika aliran untuk proses AR pindah ke hilir, itu juga mempercepat. Semakin cepat dan semakin cepat saat kerucut bergerak di sepanjang itu.

Sifat aliran AR ditentukan oleh beberapa arah khusus, "karakteristik,", yang biasanya terbukti dalam diagram aliran: aliran tampaknya konvergen ke arah atau berasal dari arah ini. Kita selalu dapat menemukan arah karakteristik sebanyak ada koefisien dalam proses AR: dua dalam ilustrasi ini. Terkait dengan setiap arah karakteristik adalah angka, "root" atau "eigenvalue" nya. Ketika ukuran angka kurang dari satu, aliran dalam arah karakteristik menuju lokasi pusat. Ketika ukuran akar lebih besar dari kesatuan, aliran mempercepat jauh dari lokasi pusat.$1$--adalah didominasi oleh kekuatan acak yang mempengaruhi kerucut. Itu adalah "jalan acak." Kerucut bisa berkeliaran perlahan tapi tanpa mempercepat.

(Beberapa gambar menampilkan nilai dari kedua akar dalam judulnya.)

Bahkan Pooh - beruang yang sangat sedikit otaknya - akan menyadari bahwa arus akan menangkap kerucut cemara hanya ketika semua alirannya menuju satu pusaran air atau pusaran air; jika tidak, pada salah satu jalan memutar acak itu kerucut akhirnya akan menemukan dirinya di bawah pengaruh bagian aliran dengan akar lebih besar dari dalam besarnya, di mana ia akan berkeliaran di hilir dan hilang selamanya. Akibatnya, proses AR bisa diam jika dan hanya jika semua nilai karakteristik kurang dari satu ukuran .$1$

Ekonom mungkin adalah analis terbesar dari deret waktu dan pengusaha teknologi proses AR. Serangkaian data mereka biasanya tidak berakselerasi. Oleh karena itu, mereka hanya memperhatikan apakah ada arah karakteristik yang nilainya mungkin sebesar dalam ukuran: "unit root". Mengetahui apakah data konsisten dengan aliran seperti itu dapat memberi tahu banyak ekonom tentang nasib potensial tongkat poohnya: yaitu, tentang apa yang akan terjadi di masa depan. Itu sebabnya penting untuk menguji unit root. Artikel Wikipedia yang bagus menjelaskan beberapa implikasinya.$1$

Pooh dan teman-temannya menemukan tes empiris tentang stasioneritas:

Sekarang suatu hari Pooh dan Piglet dan Rabbit dan Roo semua bermain Poohsticks bersama. Mereka menjatuhkan tongkat mereka ketika Kelinci berkata "Pergi!" lalu mereka bergegas menyeberang ke sisi lain jembatan, dan sekarang mereka semua bersandar di tepi, menunggu untuk melihat tongkat siapa yang akan keluar duluan. Tapi itu sudah lama datang, karena sungai itu sangat malas hari itu, dan hampir tidak keberatan jika tidak sampai di sana sama sekali.

"Aku bisa melihat milikku!" teriak Roo. "Tidak, aku tidak bisa, itu sesuatu yang lain. Bisakah kamu melihat milikmu, Piglet? Kupikir aku bisa melihat milikku, tapi aku tidak bisa. Itu dia! Tidak, bukan itu. Bisakah kamu melihat milikmu, Pooh? "

"Tidak," kata Pooh.

"Kuharap tongkatku macet," kata Roo. "Kelinci, tongkatku macet. Apakah tongkatmu macet, Piglet?"

"Mereka selalu membutuhkan waktu lebih lama dari yang kau kira," kata Rabbit.

Bagian ini, dari tahun 1928, dapat ditafsirkan sebagai "uji Unit Roo" pertama.

Bayangkan dua proses :$AR(1)$

• Proses 1:$v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• Proses 2:$v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $\epsilon_i$ diambil dari$N(0,1)$

Proses 1 tidak memiliki unit root. Proses 2 memiliki unit root. Anda dapat mengonfirmasi ini dengan menghitung polinomial karakteristik per jawaban Michael.

Bayangkan kita memulai kedua proses dari nol, yaitu . Sekarang bayangkan apa yang terjadi ketika kita memiliki "epsilon positif" yang berjalan baik, dan bayangkan kedua proses mencapai .$v_1 = 0$$v_{10} = 5$

Apa yang terjadi selanjutnya? Ke mana kita mengharapkan urutannya pergi?

Kami berharap bahwa . Jadi kami berharap bahwa kasus Proses 1 memiliki , , dll.$\epsilon_{i} = 0$$v_{11} = 2.5$$v_{12} = 1.25$$v_{13} = 0.625$

Tetapi kami mengharapkan untuk Proses 2 yang , , dll.v 12 = 5 v 13 = $v_{11} = 5$$v_{12} = 5$$v_{13} = 5$

Jadi salah satu intuisi adalah, ketika "rangkaian nasib baik / buruk" mendorong suatu proses dengan unit root sekitar, urutan "terjebak dalam posisi" oleh keberuntungan baik atau buruk historis. Itu masih akan bergeser secara acak, tetapi tidak ada "memaksanya kembali". Di sisi lain, ketika tidak ada unit root dan proses tidak meledak, ada "kekuatan" pada proses yang akan membuat proses melayang kembali ke posisi lama, meskipun suara acak masih akan mengetuknya sedikit .

" " dapat mencakup osilasi yang tidak contoh sederhana adalah: . Ini akan bolak-balik positif ke negatif, tetapi osilasi tidak ditakdirkan untuk meledak hingga tak terbatas atau lembab ke nol. Anda bisa mendapatkan lebih banyak bentuk "macet" yang mencakup jenis osilasi yang lebih kompleks.$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

Pertimbangkan proses autoregresif orde pertama mana adalah white noise. Model ini juga dapat diekspresikan dengan semua di satu sisi sebagai

Menggunakan operator kita dapat mengekspresikan kembali model secara kompak sebagai atau, setara, Polinom karakteristik adalah . Ini memiliki (unik) root di . Kemudian untuk kami memiliki proses stasioner dan untuk kami memiliki proses nonstasioner eksplosif . Untuk kita memiliki jalan acak yang nonstasioner dan unit root 1/1 . Jadi akar unit membentuk batas antara stasioneritas dan nonstasioneritas. The$BX_t = X_{t-1}$$X_t-aBX_t =e_t$