Sederhanakan jumlah kombinasi dengan n yang sama, semua nilai yang mungkin dari k

Apakah ada cara untuk menyederhanakan persamaan ini?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

Atau lebih umum,

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics Id
sumber

Toko es krim memproduksi es krim tanpa rasa dan kemudian menambahkan satu atau lebih dari 5 konsentrat rasa (vanilla, cokelat, fudge, mint, jamoca) untuk membuat berbagai es krim yang tersedia untuk dijual di toko. Jadi jumlah rasa yang berbeda adalah

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$ . Coba hitung jumlah rasa dengan tangan. Untuk kredit tambahan, identifikasi toko.

Dilip Sarwate

Jawaban:

Lihat

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

yang mengatakan

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Anda dapat membuktikan ini menggunakan teorema binomial di mana . $x=y=1$

Sekarang, karena untuk apa pun , maka berikut $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

Dalam kasus Anda , jadi jawabannya adalah . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

Makro
sumber

Terima kasih. Saya mencoba untuk mencari tahu semua set fitur input yang mungkin untuk regresi, jadi pikiran saya mulai dengan statistik tetapi saya kira pertanyaan ini bukan statistik per se.

Idr

Tidak masalah. Harap pertimbangkan untuk memilih dan / atau menerima jawaban yang menurut Anda sangat membantu :)

Makro

Tentu saja. Juga saya percaya Anda harus k.

Idr

Anda benar - diperbaiki.

Makro

Cara mudah untuk melihat ini adalah: Anda akan mengambil setiap elemen (1), atau tidak (0). Jadi Anda bisa mewakili semua angka biner dengan n bit: 2 ^ n. Dan ini berarti semua kombinasi dengan satu item dihapus, ditambah semua kombinasi dengan 2 item dihapus, dan seterusnya .. = jumlah C (k / N).

Snicolas

Pekerjaan rumah?

Petunjuk:

Ingat teorema binomial:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

Sekarang, jika Anda bisa menemukan x dan y sehingga konstan ... $x^ky^{n-k}$

Erik
sumber