Kesenjangan maksimum antara sampel yang diambil tanpa penggantian dari distribusi seragam diskrit

Masalah ini terkait dengan penelitian lab saya dalam cakupan robot:

Gambar angka secara acak dari set tanpa penggantian, dan urutkan angka dalam urutan menaik. .$n$$\{1,2,\ldots,m\}$$1\le n\le m$

Dari daftar angka yang diurutkan ini , menghasilkan perbedaan antara angka berurutan dan batas: . Ini memberi celah.$\{a_{(1)},a_{(2)},…,a_{(n)}\}$$g = \{a_{(1)},a_{(2)}−a_{(1)},\ldots,a_{(n)}−a_{(n-1)},m+1-a_{(n)}\}$$n+1$

Apa distribusi kesenjangan maksimum?

$P(\max(g) = k) = P(k;m,n) = ?$

Ini dapat dibingkai menggunakan statistik pesanan : $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = ?$

Lihat tautan untuk distribusi kesenjangan , tetapi pertanyaan ini menanyakan distribusi kesenjangan maksimum .

Saya akan puas dengan nilai rata-rata, $\mathbb{E}[g_{(n+1)}]$ .

Jika $n=m$ semua kesenjangan adalah ukuran 1. Jika $n+1 = m$ ada satu celah ukuran $2$ , dan $n+1$ kemungkinan lokasi. Ukuran celah maksimum adalah $m-n+1$ , dan celah ini dapat ditempatkan sebelum atau setelah salah satu nomor $n$ , untuk total $n+1$ posisi yang memungkinkan. Ukuran celah maksimum terkecil terkecil adalah $\lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil$ . Tentukan probabilitas kombinasi apa pun yang diberikan $T= {m \choose n}^{-1}$ .

Saya telah memecahkan sebagian fungsi massa probabilitas sebagai $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = \begin{cases} 0 & k < \lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil\\ 1 & k = \frac{m-n}{n+1} \\ 1 & k = 1 \text{ (occurs when $m=n$)} \\ T(n+1)& k = 2 \text{ (occurs when $m=n+1$)} \\ T(n+1)& k = \frac{m-(n-1)}{n} \\ ? & \frac{m-(n-1)}{n} \le k \le m-n+1 \\ T(n+1)& k = m-n+1\\ 0 & k > m-n+1 \end{cases} \tag{1}$

Pekerjaan saat ini (1): Persamaan untuk celah pertama, langsung: Nilai yang diharapkan memiliki nilai sederhana: . Dengan simetri, saya berharap semua kesenjangan memiliki distribusi ini. Mungkin solusinya dapat ditemukan dengan menggambar dari distribusi ini kali. P ( a ( 1 ) = k ) = P ( k ; m , n ) = $a_{(1)}$E[P(a(1))]=

$$P(a_{(1)} = k) = P(k;m,n) = \frac{1}{{m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1}$$ n$\mathbb{E}[P(a_{(1)})] = \frac{1}{ {m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1} k = \frac{m-n}{1+n}$$n$$n$

Pekerjaan saat ini (2): mudah untuk menjalankan simulasi Monte Carlo.

simMaxGap[m_, n_] := Max[Differences[Sort[Join[RandomSample[Range[m], n], {0, m+1}]]]];
m = 1000; n = 1; trials = 100000;
SmoothHistogram[Table[simMaxGap[m, n], {trials}], Filling -> Axis,
Frame -> {True, True, False, False},
FrameLabel -> {"k (Max gap)", "Probability"},
PlotLabel -> StringForm["m=``,n=``,smooth histogram of maximum map for `` trials", m, n, trials]][![enter image description here][1]][1]

Misalkan adalah peluang minimum, , sama dengan ; yaitu, sampel terdiri dari dan subset dari . Ada himpunan bagian seperti itu dari subset yang kemungkinan besar sama, dari mana$f(g;n,m)$$a_{(1)}$$g$$g$$n-1$$\{g+1,g+2,\ldots,m\}$$\binom{m-g}{n-1}$$\binom{m}{n}$

$$\Pr(a_{(1)}=g = f(g;n,m) = \frac{\binom{m-g}{n-1}}{\binom{m}{n}}.$$

Menambahkan untuk semua nilai yang mungkin dari lebih besar dari menghasilkan fungsi survival$f(k;n,m)$$k$$g$

$$\Pr(a_{(1)} \gt g) = Q(g;n,m)= \frac{(m-g)\binom{m-g-1}{n-1}}{n \binom{m}{n}}.$$

Biarkan menjadi variabel acak yang diberikan oleh celah terbesar:$G_{n,m}$

$$G_{n,m} = \max\left(a_{(1)}, a_{(2)}-a_{(1)}, \ldots, a_{(n)}-a_{(n-1)}\right).$$

(Ini menjawab pertanyaan yang awalnya dibingkai, sebelum dimodifikasi untuk memasukkan celah antara dan .)$a_{(n)}$$m$ Kami akan menghitung fungsi survivalnya dari mana seluruh distribusi mudah diperoleh. Metode ini adalah program dinamis yang dimulai dengan , yang jelas itu

$$P(g;n,m)=\Pr(G_{n,m}\gt g),$$ $G_{n,m}$$n=1$

$$P(g;1,m) = \Pr(G_{1,m} \gt 1) = \frac{m-g}{m},\ g=0, 1, \ldots, m.\tag{1}$$

Untuk , perhatikan bahwa acara adalah gabungan yang tidak terpisahkan dari acara tersebut$n\gt 1$$G_{n,m}\gt g$

$$a_{1} \gt g,$$

di mana jarak pertama melebihi , dan memisahkan peristiwa$g$$g$

$$a_{1}=k\text{ and } G_{n-1,m-k} \gt g, \ k=1, 2, \ldots, g$$

di mana celah pertama sama dengan dan kesenjangan lebih besar dari terjadi kemudian dalam sampel. Hukum Probabilitas Total menegaskan probabilitas kejadian ini ditambah, dari mana$k$$g$

$$P(g;n,m) = Q(g;n,m) + \sum_{k=1}^g f(k;n,m) P(g;n-1,m-k).\tag{2}$$

Memperbaiki dan meletakkan array dua arah yang diindeks oleh dan , kita dapat menghitung dengan menggunakan untuk mengisi baris pertama dan untuk mengisi setiap baris berturut-turut menggunakan operasi per baris. Akibatnya tabel dapat diselesaikan dalam operasi dan semua tabel untuk hingga dapat dibangun dalam operasi .$g$$i=1,2,\ldots,n$$j=1,2,\ldots,m$$P(g;n,m)$$(1)$$(2)$$O(gm)$$O(gmn)$$g=1$$g=m-n+1$$O(m^3n)$

Grafik ini menunjukkan fungsi survival untuk . Ketika meningkat, grafik bergerak ke kiri, sesuai dengan peluang penurunan kesenjangan besar.$g\to P(g;n,64)$$n=1,2,4,8,16,32,64$$n$

Rumus tertutup untuk dapat diperoleh dalam banyak kasus khusus, terutama untuk besar , tetapi saya belum dapat memperoleh rumus tertutup yang berlaku untuk semua . Perkiraan yang baik sudah tersedia dengan mengganti masalah ini dengan masalah analog untuk variabel seragam kontinu.$P(g;n,m)$$n$$g,n,m$

Akhirnya, harapan diperoleh dengan menjumlahkan fungsi survivalnya mulai dari :$G_{n,m}$$g=0$

$$\mathbb{E}(G_{n,m}) = \sum_{g=0}^{m-n+1} P(g;n,m).$$

Plot kontur harapan ini menunjukkan kontur pada , lulus dari gelap ke terang.$2, 4, 6, \ldots, 32$