Momen sentral ketiga dari jumlah angka acak dari variabel acak iid

Terinspirasi oleh pertanyaan ini , saya mencoba untuk mendapatkan ekspresi untuk momen sentral ketiga dari jumlah variabel acak iid acak. Pertanyaan saya adalah apakah itu benar dan, jika tidak, apa yang salah atau asumsi tambahan apa yang mungkin hilang.

Secara khusus, biarkan:

S = \sum_{1}^{N} X_{i},

$S=\sum_1^N{X_i},$ mana adalah variabel acak bernilai integer bernilai negatif.

N

$N$

Misalkan distribusi dari kedua dan dikenal (dan adalah iid), saya ingin tahu nilai saat tengah ketiga . $N$ $X$ $X_i$ $S$

Menggunakan hukum total cummulance:

μ_{3} (S) = E [μ_{3} (S | N)] + μ_{3} (E [S | N]) + 3 c o v (E [S | N], V [S | N]),

$\mu_3(S)=E[\mu_3(S|N)]+\mu_3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]),$

tetapi $E[S|N]=N\cdot E[X]$ , $E[S|N]=N\cdot V[X]$ dan, jika saya benar, $\mu_3(S|N)=N\cdot \mu_3[X]$ . Karenanya:

μ_{3} (S) = E [N \cdot μ_{3} (X)] + μ_{3} (N \cdot E [X]) + 3 c o v (N \cdot E [X], N \cdot V [X]),

$\mu_3(S)=E[N\cdot \mu_3(X)]+\mu_3(N\cdot E[X])+3cov(N\cdot E[X],N\cdot V[X]),$

dan, karena momen $X$ seharusnya diketahui:

μ_{3} (S) = μ_{3} (X) E [N] + E [X]^{3} μ_{3} (N) + 3 E [X] V [X] c o v (N, N)

$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N)$

Tentu saja, $cov(N,N)=V[N]$ , jadi:

μ_{3} (S) = μ_{3} (X) E [N] + E [X]^{3} μ_{3} (N) + 3 E [X] V [X] V [N]

$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]V[N]$

Apakah tepat? Apa yang salah? Apa asumsi tambahan yang saya lewatkan?

random-variable moments Rafael
sumber

Jawaban:

Langkah Anda terlihat benar bagi saya. Kita perlu mengasumsikan bahwa momen itu ada. Satu-satunya langkah yang saya tidak yakin tentangnya adalah . Tetapi, kita dapat membuktikan bahwa: $\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$

\begin{aligned} μ_{3} (S | X) & = E [(S - E [S])^{3} | N] \\ = E [{(\sum_{saya = 1}^{N} (X_{saya} - E [X]))}^{3} | N] \\ = E [\sum_{saya = 1}^{N} (X_{saya} - E [X])^{3} | N] \end{aligned}

$\begin{align} \mu_3(S | X) &= E\left[(S - E[S])^3 | N \right] \\ &= E\left[ \left( \sum_{i=1}^N (X_i - E[X]) \right)^3 \middle| N \right] \\ &= E \left[ \sum_{i=1}^N (X_i - E[X])^3 \middle| N\right] \end{align}$ tempat untuk menetapkan persamaan terakhir, kita dapat menggunakan teorema multinomial. Untuk diberikan ,

n

$n$

\begin{aligned} E [{(\sum_{saya = 1}^{n} (X_{saya} - E [X]))}^{3}] & = E [\sum_{\sum_{saya = 1}^{n} k_{saya} = 3} (\binom{3}{k_{1}, ..., k_{n}}) (X_{1} - E [X])^{k_{1}} \dots (X_{n} - E [X])^{k_{n}}] \\ = E [\sum_{saya = 1}^{n} (X_{saya} - E [X])^{3}], \end{aligned}

$\begin{align} E\left[ \left( \sum_{i=1}^n (X_i - E[X]) \right)^3 \right] &= E \left[ \sum_{\sum_{i=1}^n k_i = 3} {3 \choose{k_1, \ldots, k_n}} (X_1 - E[X])^{k_1} \cdots (X_n - E[X])^{k_n} \right] \\ &= E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - E[X])^3 \right], \end{align}$ karena ketika untuk setiap , ada lain di mana (Karena independensi dan dan fakta bahwa harapan adalah nol, menyebabkan istilah tertentu menjadi nol). Sekarang harus jelas bahwa .

k_{i} = 2

$k_i = 2$

i

$i$

j

$j$

k_{j} = 1

$k_j=1$

X_{i}

$X_i$

X_{j}

$X_j$

X_{j} - E [X]

$X_j - E[X]$

μ_{3} (S | X) = N \cdot μ_{3} [X]

$\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$

jagdish
sumber