Apakah benar bahwa untuk dua variabel acak dan ,
Apakah benar bahwa untuk dua variabel acak dan ,
Jika , maka sisi kanan melibatkan pembagian dengan dan jadi tidak ada artinya. Perhatikan bahwa apakah dan independen atau tidak relevan.
Secara umum , tidak berlaku untuk variabel acak dependen tetapi contoh spesifik dari dependen dan memuaskan dapat ditemukan. Perhatikan bahwa kita harus terus bersikeras bahwa , selain itu sisi kanan tidak ada artinya. Ingatlah bahwa adalah variabel acak yang merupakan fungsi dari variabel acak , katakanlah sedangkan adalahvariabel acakyang merupakanfungsidari variabel acak , katakanlah . Jadi, mirip dengan bertanya apakah
dapat berupa pernyataan yang benar, dan jelas jawabannya adalah bahwag(B)tidak dapat merupakan kelipatan darih(A)secara umum.
Sepengetahuan saya, hanya ada dua kasus khusus di mana dapat menampung.
Seperti disebutkan di atas, untuk variabel acak independen dan B , g ( B ) dan h ( A ) adalah variabel acak degenerasi (disebut konstanta oleh orang-orang yang buta huruf secara statistik) yang masing-masing sama dengan E [ A ] dan E [ B ] , dan jadi jika E [ B ] ≠ 0 , kami memiliki persamaan dalam ( 1 ) .
Di ujung lain spektrum dari independensi, anggaplah bahwa mana g ( ⋅ ) adalah fungsi yang tidak dapat dibalik dan karenanya A = g ( B ) dan B = g - 1 ( A ) adalah variabel acak yang sepenuhnya tergantung. Dalam hal ini, E [ A ∣ B ] = g ( B ) , dan jadi ( 1 ) menjadi g ( B ) ? = B E [ A ]
Dalam komentar tentang jawaban ini, Huber telah menyarankan mempertimbangkan persamaan dugaan simetris yang tentu saja selalu berlaku untuk variabel acak independen terlepas dari nilai E [ A ] dan E [ B ] dan untuk kelipatan skalar A = α B juga. Tentu saja, lebih sepele, ( 3 ) berlaku untuk
Hasilnya secara umum tidak benar, mari kita lihat dalam contoh sederhana. Misalkan memiliki distribusi binomial dengan parameter n , p dan P memiliki distribusi beta dengan parameter ( α , β ) , yaitu, model bayesian dengan konjugat sebelumnya. Sekarang, hitung saja dua sisi rumus Anda, sisi kiri adalah E X ∣ P = n P , sedangkan sisi kanan adalah E ( P ∣ X ) E X dan itu tentu saja tidak sama.
Nilai ekspektasi bersyarat dari variabel acak mengingat peristiwa bahwa B = b adalah angka yang tergantung pada angka apa b . Jadi sebut saja h ( b ) . Kemudian bersyarat diharapkan nilai E ( A | B ) adalah h ( B ) , variabel acak yang nilainya sepenuhnya ditentukan oleh nilai dari variabel acak B . Jadi E ( A ∣ B ) adalah fungsi dari B dan E ( adalah fungsi dari A .
Hasil bagi hanyalah sebuah angka.
Jadi satu sisi dari kesetaraan yang Anda usulkan ditentukan oleh dan yang lainnya oleh B , sehingga secara umum mereka tidak bisa sama.
(Mungkin saya harus menambahkan bahwa mereka bisa sama dalam kasus sepele ketika nilai-nilai dan B menentukan satu sama lain, seperti ketika misalnya, A = α B , α ≠ 0 dan E [ B ] ≠ 0 , ketika E [ A ∣ B ] = α B = E [ B ∣ A ] ⋅ α = E [ B ∣ A ] α E [ B ]Tetapi fungsi yang sama satu sama lain hanya pada beberapa titiktidaksama.)
The expression certainly does not hold in general. For the fun of it, I show below that if and follow jointly a bivariate normal distribution, and have non-zero means, the result will hold if the two variables are linear functions of each other and have the same coefficient of variation (the ratio of standard deviation over mean) in absolute terms.
For jointly normals we have
and we want to impose
Simplify and then , and re-arrange to get
So this is the linear relationship that must hold between the two variables (so they are certainly dependent, with correlation coefficient equal to unity in absolute terms) in order to get the desired equality. What it implies?
First, it must also be satisfied that
so no other restirction is imposed on the mean of ( or of ) except of them being non-zero. Also a relation for the variance must be satisfied,
which was to be shown.
Note that equality of the coefficient of variation in absolute terms, allows the variables to have different variances, and also, one to have positive mean and the other negative.