Hamilton menunjukkan bahwa ini adalah representasi yang benar dalam buku ini, tetapi pendekatannya mungkin tampak agak berlawanan dengan intuisi. Oleh karena itu, izinkan saya memberikan jawaban tingkat tinggi yang memotivasi pilihan pemodelannya dan kemudian menguraikan sedikit tentang derivasinya.
Motivasi :
Seperti yang seharusnya menjadi jelas dari membaca Bab 13, ada banyak cara untuk menulis model dinamis dalam bentuk ruang negara. Karena itu kita harus bertanya mengapa Hamilton memilih representasi khusus ini. Alasannya adalah bahwa representasi ini menjaga dimensi vektor keadaan tetap rendah. Secara intuitif, Anda akan berpikir (atau setidaknya saya akan) bahwa vektor keadaan untuk ARMA ( , ) harus setidaknya dari dimensi . Bagaimanapun, hanya dari mengamati katakanlah , kita tidak dapat menyimpulkan nilai . Namun dia menunjukkan bahwa kita dapat mendefinisikan representasi ruang-negara dengan cara yang cerdas yang meninggalkan vektor keadaan dimensi paling banyakpqp+qyt−1ϵt−1r=max{p,q+1}. Menjaga dimensi negara rendah mungkin penting untuk implementasi komputasi, saya kira. Ternyata representasi state-space-nya juga menawarkan interpretasi yang bagus tentang proses ARMA: state yang tidak teramati adalah AR ( ), sedangkan bagian MA ( ) muncul karena kesalahan pengukuran.pq
Derivasi :
Sekarang untuk derivasi. Catatan pertama bahwa, menggunakan notasi operator lag, ARMA (p, q) didefinisikan sebagai:
mana kita membiarkan untuk , dan untuk dan kita menghilangkan karena setidaknya . Jadi yang perlu kita tunjukkan adalah persamaan persamaan dan pengamatannya menyiratkan persamaan di atas. Biarkan vektor keadaan menjadi
Sekarang lihat pada persamaan keadaan. Anda dapat memeriksa bahwa persamaan hingga
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(yt−μ)=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)ϵt
ϕj=0j>pθj=0j>qθrrq+1ξt={ξ1,t,ξ2,t,…,ξr,t}⊤
2rcukup pindahkan entri ke satu periode di depan dan buang dalam vektor keadaan di . Oleh karena itu persamaan pertama, mendefinisikan adalah persamaan yang relevan. :
Karena elemen kedua dari adalah elemen pertama dari dan elemen ketiga dari adalah elemen pertama
ξi,tξi−1,t+1ξr,tt+1ξi,t+1ξ1,t+1=ϕ1ξ1,t+ϕ2ξ2,t+…+ϕrξr,t+ϵt+1
ξtξt−1ξtξt−2dan seterusnya, kita dapat menulis ulang ini, menggunakan notasi operator lag dan memindahkan polinomial lag ke sisi kiri (persamaan 13.1.24 dalam H.):
Jadi keadaan tersembunyi mengikuti proses autoregresif. Demikian pula, persamaan pengamatan adalah
atau
Ini tidak terlihat seperti ARMA sejauh ini, tetapi sekarang sampai pada bagian yang bagus: kalikan persamaan terakhir dengan :
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)ξ1,t+1=ϵt+1
yt=μ+ξ1,t+θ1ξ2,t+…+θr−1ξr−1,t
yt−μ=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)ξ1,t
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(yt−μ)=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)(1−ϕ1L−…−ϕrLr)yt
Tetapi dari persamaan keadaan (tertinggal satu periode), kita memiliki ! Jadi hal di atas setara dengan
persis seperti yang kami butuhkan untuk ditampilkan! Jadi sistem pengamatan-negara dengan benar mewakili ARMA (p, q). Saya benar-benar hanya memparafrase Hamilton, tapi saya harap ini bermanfaat juga.
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)ξ1,t=ϵt(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(yt−μ)=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)ϵt
Ini sama dengan di atas, tetapi saya pikir saya akan memberikan jawaban yang lebih pendek, lebih ringkas. Sekali lagi, ini adalah representasi Hamilton untuk proses ARMA ( , ) kausal , di mana . Angka ini akan menjadi dimensi dari vektor keadaan , dan diperlukan untuk membuat jumlah baris dari negara cocok dengan jumlah kolom dari matriks observasi. Itu berarti kita juga harus menetapkan koefisien ke nol setiap kali indeks terlalu besar.p q r=max(p,q+1) r (ξt,ξt−1,…,ξt−r+1)′
sumber