Representasi ruang negara ARMA (p, q) dari Hamilton

11

Saya telah membaca Hamilton Bab 13 dan dia memiliki representasi ruang keadaan berikut untuk ARMA (p, q). Misalkan Maka proses ARMA (p, q) adalah sebagai berikut: Lalu, ia mendefinisikan Persamaan Negara sebagai berikut:r=max(p,q+1)

ytμ=ϕ1(yt1μ)+ϕ2(yt2μ)+...+ϕ3(yt3μ)+ϵt+θ1ϵt1+...+θr1ϵtr+1.

ξt+1=[ϕ1ϕ2ϕr1ϕr1000000010]ξt+[ϵt+100]

dan persamaan pengamatan sebagai:

yt=μ+[1θ1θ2θr1]ξt.

Saya tidak mengerti apa ξt dalam kasus ini. Karena dalam representasi AR (p) itu adalah [ytμyt1μytp+1μ] dan dalam perwakilan MA (1) itu adalah [ϵtϵt1] .

Bisakah seseorang menjelaskan hal ini kepada saya sedikit lebih baik?

lembut
sumber

Jawaban:

10

Hamilton menunjukkan bahwa ini adalah representasi yang benar dalam buku ini, tetapi pendekatannya mungkin tampak agak berlawanan dengan intuisi. Oleh karena itu, izinkan saya memberikan jawaban tingkat tinggi yang memotivasi pilihan pemodelannya dan kemudian menguraikan sedikit tentang derivasinya.

Motivasi :

Seperti yang seharusnya menjadi jelas dari membaca Bab 13, ada banyak cara untuk menulis model dinamis dalam bentuk ruang negara. Karena itu kita harus bertanya mengapa Hamilton memilih representasi khusus ini. Alasannya adalah bahwa representasi ini menjaga dimensi vektor keadaan tetap rendah. Secara intuitif, Anda akan berpikir (atau setidaknya saya akan) bahwa vektor keadaan untuk ARMA ( , ) harus setidaknya dari dimensi . Bagaimanapun, hanya dari mengamati katakanlah , kita tidak dapat menyimpulkan nilai . Namun dia menunjukkan bahwa kita dapat mendefinisikan representasi ruang-negara dengan cara yang cerdas yang meninggalkan vektor keadaan dimensi paling banyakpqp+qyt1ϵt1r=max{p,q+1}. Menjaga dimensi negara rendah mungkin penting untuk implementasi komputasi, saya kira. Ternyata representasi state-space-nya juga menawarkan interpretasi yang bagus tentang proses ARMA: state yang tidak teramati adalah AR ( ), sedangkan bagian MA ( ) muncul karena kesalahan pengukuran.pq

Derivasi :

Sekarang untuk derivasi. Catatan pertama bahwa, menggunakan notasi operator lag, ARMA (p, q) didefinisikan sebagai: mana kita membiarkan untuk , dan untuk dan kita menghilangkan karena setidaknya . Jadi yang perlu kita tunjukkan adalah persamaan persamaan dan pengamatannya menyiratkan persamaan di atas. Biarkan vektor keadaan menjadi Sekarang lihat pada persamaan keadaan. Anda dapat memeriksa bahwa persamaan hingga

(1ϕ1LϕrLr)(ytμ)=(1+θ1L++θr1Lr1)ϵt
ϕj=0j>pθj=0j>qθrrq+1
ξt={ξ1,t,ξ2,t,,ξr,t}
2rcukup pindahkan entri ke satu periode di depan dan buang dalam vektor keadaan di . Oleh karena itu persamaan pertama, mendefinisikan adalah persamaan yang relevan. : Karena elemen kedua dari adalah elemen pertama dari dan elemen ketiga dari adalah elemen pertamaξi,tξi1,t+1ξr,tt+1ξi,t+1
ξ1,t+1=ϕ1ξ1,t+ϕ2ξ2,t++ϕrξr,t+ϵt+1
ξtξt1ξtξt2dan seterusnya, kita dapat menulis ulang ini, menggunakan notasi operator lag dan memindahkan polinomial lag ke sisi kiri (persamaan 13.1.24 dalam H.): Jadi keadaan tersembunyi mengikuti proses autoregresif. Demikian pula, persamaan pengamatan adalah atau Ini tidak terlihat seperti ARMA sejauh ini, tetapi sekarang sampai pada bagian yang bagus: kalikan persamaan terakhir dengan :
(1ϕ1LϕrLr)ξ1,t+1=ϵt+1
yt=μ+ξ1,t+θ1ξ2,t++θr1ξr1,t
ytμ=(1+θ1L++θr1Lr1)ξ1,t
(1ϕ1LϕrLr)
(1ϕ1LϕrLr)(ytμ)=(1+θ1L++θr1Lr1)(1ϕ1LϕrLr)yt
Tetapi dari persamaan keadaan (tertinggal satu periode), kita memiliki ! Jadi hal di atas setara dengan persis seperti yang kami butuhkan untuk ditampilkan! Jadi sistem pengamatan-negara dengan benar mewakili ARMA (p, q). Saya benar-benar hanya memparafrase Hamilton, tapi saya harap ini bermanfaat juga.(1ϕ1LϕrLr)ξ1,t=ϵt
(1ϕ1LϕrLr)(ytμ)=(1+θ1L++θr1Lr1)ϵt
Matthias Schmidtblaicher
sumber
Saya tidak sepenuhnya menjual interpretasi negara. Saat Anda menulis baris pertama dari persamaan transisi keadaan, sepertinya persamaan yang bertentangan dengan model yang diasumsikan. Juga saya merasa aneh bahwa Anda menganggap data yang diamati pada saat yang sama tersembunyi / laten.
Taylor
Anda benar, keadaannya memang tidak sama dengan . Terima kasih telah menunjukkan ini. Saya memperbaikinya, harus baik-baik saja sekarang. Btw, secara umum kita bisa mengamati variabel dalam vektor keadaan, lihat misalnya contoh AR (p). Di sana variabel tersembunyi dapat dianggap sebagai nilai periode berikutnya, . ytyt+1
Matthias Schmidtblaicher
Terima kasih! Tapi saya al masih bingung apa dalam keadaan ini ruang representasi. Tidak misalnya, definisinya tentang dalam persamaan 13.1.15 dan 13.1.14 untuk dan proses AR (p) dan MA (1). Kerancuan saya adalah, jika saya memasukkan ini ke matlab, angka apa yang saya dapat di ? ξξξ
dleal
Yang membingungkan di sini adalah bahwa pemodelan ruang negara berkaitan dengan keadaan tersembunyi, sementara dengan proses ARMA kita tidak menganggap variabel sebagai tersembunyi. Representasi ruang keadaan dan teknik Penyaringan (Kalman) dimotivasi dengan menyaring keadaan yang tidak teramati. Untuk proses ARMA, kami hanya menggunakan formulasi model state-space sehingga kami dapat memperkirakan parameter menggunakan Filter Kalman. Jadi kita agak sewenang-wenang mendefinisikan negara tersembunyi di 13.1.4 sebagai pengamatan periode berikutnya sementara di 13.1.22, negara adalah variabel baru yang tidak muncul dalam model asli. yt+1
Matthias Schmidtblaicher
Untuk menjawab pertanyaan Anda tentang Matlab: jika Anda memulai dari ARMA (p, q), bukanlah variabel yang muncul dalam model itu. Namun, representasi ruang keadaan sebenarnya menawarkan interpretasi yang berbeda dari ARMA (p, q): keadaan tersembunyi bisa menjadi variabel yang Anda minati dan struktur MA (q) muncul karena kesalahan pengukuran. Anda dapat menuliskan AR (1) dan menambahkan white noise untuk melihat bahwa struktur ARMA muncul. ξ
Matthias Schmidtblaicher
8

Ini sama dengan di atas, tetapi saya pikir saya akan memberikan jawaban yang lebih pendek, lebih ringkas. Sekali lagi, ini adalah representasi Hamilton untuk proses ARMA ( , ) kausal , di mana . Angka ini akan menjadi dimensi dari vektor keadaan , dan diperlukan untuk membuat jumlah baris dari negara cocok dengan jumlah kolom dari matriks observasi. Itu berarti kita juga harus menetapkan koefisien ke nol setiap kali indeks terlalu besar.pqr=max(p,q+1)r(ξt,ξt1,,ξtr+1)

  1. Persamaan Pengamatan

ϕ(B)(ytμ)=θ(B)ϵt(causality)(ytμ)=ϕ1(B)θ(B)ϵtyt=μ+ϕ1(B)θ(B)ϵtyt=μ+θ(B)ϕ1(B)ϵt(letting ξt=ϕ1(B)ϵt)yt=μ+θ(B)ξt(this is where we need r)yt=μ+[1θ1θ2θr1][ξtξt1ξtr+1]the state vector+0.
  1. Persamaan Negara

ξt=ϕ1(B)ϵtϕ(B)ξt=ϵt(1ϕ1BϕrBr)ξt=ϵtξt=ϕ1ξt1++ϕrξtr+ϵt[ξtξt1ξt2ξtr+1]=[ϕ1ϕ2ϕ3ϕr1000010000010][ξt1ξt2ξtr]+[ϵt00].
Taylor
sumber
1
Ini akhirnya membuatnya jelas dari mana persamaan-persamaan negara itu berasal. Saya pikir menyatakan seperti itu secara didaktik jauh lebih baik daripada hanya memberikan persamaan yang muncul secara acak dengan catatan bahwa ternyata benar.
Alex
@ ChowboyTrader ya, itu benar. Setidaknya untuk representasi ARMA ini. Ada beberapa yang lain.
Taylor
@CowboyTrader tidak, tapi saya akan mengatakan ini adalah perasaan yang masuk akal karena literatur tentang model ruang negara bias terhadap penyaringan. Persamaan prediksi rekursif ada untuk model ruang keadaan Gaussian linier ada, tetapi Anda mendapatkan hal pemfilteran sebagai bonus tambahan.
Taylor
@CowboyTrader merasa bebas untuk mengirim saya email. Saya tahu tidak semua orang suka diskusi panjang dalam komentar, jadi mungkin lebih mudah untuk melakukannya.
Taylor
Saya melihat bahwa itu terbukti, tetapi, bisakah Anda membantu memberikan intuisi? Apa variabel keadaan, apa t = 0 vektor negara?
Frank