Nilai korelasi palsu yang diharapkan

Kami menarik sampel , masing-masing ukuran , secara independen dari distribusi Normal .n ( μ , σ 2$N$$n$$(\mu,\sigma^2)$

Dari sampel kami kemudian memilih 2 sampel yang memiliki korelasi Pearson tertinggi (absolut) satu sama lain.$N$

Berapa nilai yang diharapkan dari korelasi ini?

Terima kasih [PS Ini bukan pekerjaan rumah]

Saya menemukan artikel berikut, yang membahas masalah ini: Jiang, Tiefeng (2004). Distribusi Asimptotik dari Entri Terbesar dari Contoh Korelasi Sampel. The Annals of Applied Probability, 14 (2), 865-880

Jiang menunjukkan distribusi asimptotik statistik, di mana adalah korelasi antara vektor acak ke - dan ke- dari panjang (dengan ), adalah$L_n = \max_{1\leq i<j\leq N} |\rho_{ij}|$ i j n i ≠ $\rho_{ij}$$i$$j$$n$$i\neq j$

a = lim n → ∞ n / N N

Rupanya hasil ini berlaku untuk setiap distribusi distribusi dengan jumlah momen terbatas yang cukup ( Edit: Lihat komentar @ cardinal di bawah). Jiang menunjukkan bahwa ini adalah distribusi nilai ekstrim Tipe I. Lokasi dan skalanya adalah

Nilai yang diharapkan dari distribusi EV Tipe-I adalah , di mana menunjukkan konstanta Euler. Namun, seperti yang disebutkan dalam komentar, konvergensi dalam distribusi tidak, dengan sendirinya, menjamin konvergensi sarana dengan distribusi terbatas.$\mu + \sigma \gamma$$\gamma$

Jika kita dapat menunjukkan hasil seperti itu dalam kasus ini, maka nilai yang diharapkan asimptotik dariakan menjadi$n L_n^2 -4\log n + \log(\log(n))$

Perhatikan bahwa ini akan memberikan nilai yang diharapkan asimtotik dari korelasi kuadrat terbesar, sedangkan pertanyaannya menanyakan nilai yang diharapkan dari korelasi absolut terbesar. Jadi tidak 100% di sana, tapi tutup.

Saya melakukan beberapa simulasi singkat yang membuat saya berpikir 1) ada masalah dengan simulasi saya (kemungkinan), 2) ada masalah dengan transkripsi / aljabar saya (juga kemungkinan), atau 3) aproksimasi tidak valid untuk nilai dan saya gunakan. Mungkin OP dapat mempertimbangkan dengan beberapa hasil simulasi menggunakan perkiraan ini?$n$$N$

Lebih jauh ke jawaban yang diberikan oleh @jmtroos, di bawah ini adalah rincian simulasi saya, dan perbandingan dengan derivasi @ jmtroos dari harapan dari Jiang (2004) , yaitu:

Nilai-nilai harapan ini tampaknya di atas nilai-nilai simulasi untuk kecil dan di bawah untuk besar dan mereka tampak sedikit berbeda ketika meningkat. Namun, perbedaannya berkurang untuk meningkatkan , seperti yang kita harapkan sebagai makalah yang mengklaim bahwa distribusi asimptotik. Saya telah mencoba berbagai . Simulasi di bawah ini menggunakan . Saya cukup baru untuk R, jadi setiap saran atau saran untuk membuat kode saya lebih baik akan disambut dengan hangat.N N n n ∈ [ 100 , 500 ] n = $N$$N$$N$$n$$n \in [100,500]$$n=200$

set.seed(1)

ns <- 500
# number of simulations for each N

n <- 200
# length of each vector

mu <- 0
sigma <- 1
# parameters for the distribution we simulate from

par(mfrow=c(5,5))
x<-trunc(seq(from=5,to=n, length=20))
#vector of Ns

y<-vector(mode = "numeric")
#vector to store the mean correlations

k<- 1
#index for y

for (N in x) {
# loop over a range of N

    dt <- matrix(nrow=n,ncol=N)

    J <- vector(mode = "numeric")
    # vector to store the simulated largest absolute 
    # correlations for each N

    for (j in 1:ns) {
    # for each N, simulated ns times    

      for (i in 1:N) {
        dt[,i] <- rnorm(n,mu,sigma)
      }
      # perform the simulation

      M<-matrix(cor(dt),nrow=N,ncol=N)
      m <- M
      diag(m) <- NA
      J[j] <- max(abs(m), na.rm=TRUE)   
      # obtain the largest absolute correlation
      # these 3 lines came from stackoverflow
  }

    hist(J,main=paste("N=",N, " n=",n, " N(0,1)", "\nmean=",round(J[j],4))) 
    y[k]<-mean(J)
    k=k+1
}

lm1 <- lm(y~log(x))
summary(lm1)

logx_sq=log(x)^2
lm2<-lm(y~log(x)+logx_sq)
summary(lm2)
# linear models for these simulations

# Jiang 2004 paper, computation:

gamma = 0.5772
yy <- vector(mode = "numeric")
yy <- sqrt((2*log((x^2)/(sqrt(8*pi)*n^2)) + 2*gamma-(-4*log(n)+log(log(n))))/n)


plot(x,yy)
# plot the simulated correlations
points(x,y,col='red')
# add the points using the expectation