Berapa distribusi jumlah variabel acak kuadrat-kuadrat?

Apa yang akan menjadi distribusi persamaan berikut:

y = a^{2} + 2 a d + d^{2}

$y = a^2 + 2ad + d^2$

dimana $a$ dan $d$ adalah variabel acak independen non-sentral dengan $2 \textbf{M}$ derajat kebebasan.

OBS .: rv menghasilkan keduanya $a$ dan $d$ memiliki $\mu = 0$ dan $\sigma^2 \neq 1$ , Katakanlah $\sigma^2 = c$ .

distributions chi-squared pdf Felipe Augusto de Figueiredo
sumber

1. Bagaimana kabarnya

a

$a$ dan

d

$d$ terkait? 2. Variabel acak Chi-square sudah memiliki mean> 0 Mengapa Anda perlu menyatakannya secara eksplisit? (Atau apakah Anda mencoba merujuk ke chi-square non-sentral?)

Glen_b -Reinstate Monica

Saya baru saja menambahkan beberapa informasi lagi ke pertanyaan. Mereka adalah non-sentral chi-square rv karena mereka dihasilkan oleh variabel acak Gaussian kompleks simetris lingkaran non-standar.

Felipe Augusto de Figueiredo

2M apakah derajat kebebasan untuk keduanya?

Alecos Papadopoulos

Felipe, dalam pertanyaan Anda, Anda menyatakan

a

$a$ dan

d

$d$ lakukan "miliki

μ = 0

$\mu=0$ "tetapi sekarang dalam komentar terakhir Anda, Anda menyatakan mereka tidak memiliki properti ini. Yang mana itu ??

whuber

Terima kasih telah mencoba menjelaskan, tetapi saya masih tidak dapat memahaminya. Di mana Anda menulis "

a

$a$ dan

d

$d$ adalah variabel acak chi-square non-sentral independen "kedengarannya seperti Anda menjumlahkan kuadrat dari variabel acak Normal yang memiliki nilai nol, karena itulah bagaimana variabel Chi-kuadrat non-sentral biasanya muncul. Tetapi kemudian Anda menulis" The rv menghasilkan keduanya

a

$a$ dan

d

$d$ memiliki

μ = 0

$\mu=0$ ", Yang menunjukkan Anda bekerja dengan pusat variabel Chi-kuadrat. Saya menduga ini adalah inkonsistensi yang diminta komentar awal oleh @Glen_b. Bisakah Anda menunjukkan secara eksplisit apa

a

$a$ dan

d

$d$ adalah?

whuber

Jawaban:

Jika $a, d\sim\chi^2_{2M}$ independen, kalau begitu $X=a+d$ akan memiliki $\chi^2_{4M}$ distribusi. Sejak $X$ tidak negatif, CDF dari $Y=a^2+2ad+d^2=(a+d)^2=X^2$ dapat ditemukan dengan mencatat

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y}) .

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}).$ Karena itu,

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2^{2 M + 1} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y})=\frac{1}{2^{2M+1}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2}.$

Jika $a$ dan $d$ berkorelasi maka hal-hal jauh lebih rumit. Lihat misalnya fungsi distribusi kumulatif NH Gordon & PF Ramig dari jumlah variabel acak kuadrat berkorelasi (1983) untuk definisi multivariat chi-kuadrat dan distribusi jumlahnya.

Jika $\mu\neq 2M$ maka Anda berhadapan dengan chi-kuadrat non-sentral sehingga hal di atas tidak lagi berlaku. Posting ini dapat memberikan beberapa wawasan.

EDIT: Berdasarkan informasi baru, tampaknya $a$ dan $d$ dibentuk dengan menyimpulkan rv normal dengan varian non-unit. Ingat kembali jika $Z\sim N(0, 1)$ kemudian $\sqrt{c}Z\sim N(0, c)$ . Sejak sekarang

a = c \sum_{i = 1}^{2 M} Z_{i}^{2} = d,

$a=c\sum_{i=1}^{2M}Z_i^2=d,$ kedua

a, d

$a,d$ akan memiliki distribusi chi-squared oleh

c

$c$ yaitu

Γ (M, 2 c)

$\Gamma(M, 2c)$ distribusi. Pada kasus ini

X = a + d

$X=a+d$ akan

Γ (2 M, 2 c)

$\Gamma(2M, 2c)$ didistribusikan. Akibatnya, untuk

Y = X^{2}

$Y=X^2$ kita punya

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (2 c)^{2 M} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2 c} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2(2c)^{2M}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2c}.$

Francis
sumber

Bagaimana kamu masuk? Apakah itu seharusnya menjadi rata-rata dari salah satu variabel chi-square? Saya kira itu tidak ada hubungannya dengan masalah.

Michael R. Chernick

@MichaelChernick: mungkin berarti

a, d

$a, d$ dapat chi-kuadrat non-sentral?

Francis

Saya kira Anda dapat membuat asumsi itu tetapi OP tidak membuat koneksi apa pun. Saya pikir Anda mengambil pendekatan yang tepat, non-sentral tidak bisa masuk ke dalam masalah ini. X adalah kuadrat dari chi-square di sini. Dalam kasus kemerdekaan yang Anda gunakan di sini, sebutan apakah sebaran ini?

Michael R. Chernick

@MichaelChernick Saya tidak yakin apakah ada nama khusus yang terkait dengan distribusi. "chi-tesseracted" mungkin?

Francis

a

$a$ dan

d

$d$ adalah chi-squared non-sentral.

Felipe Augusto de Figueiredo

Karena chi-square non-sentral adalah jumlah dari rv independen, maka jumlah dari dua chi-square non-sentral independen $X = a+b$ juga merupakan chi-square non-sentral dengan parameter jumlah parameter yang sesuai dari dua komponen, $k_x = k_a+k_b$ (derajat kebebasan), $\lambda_x = \lambda_a+\lambda_b$ (parameter non-sentralitas).

Untuk mendapatkan fungsi distribusi kuadratnya $Y =X^2$ , seseorang dapat menerapkan "metode CDF" (seperti pada jawaban @francis),

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y})

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})$

dan dimana

F_{X} (x) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, \sqrt{x})

$F_X(x)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, \sqrt{x} \right)$

begitu

F_{Y} (y) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, y^{1 / 4})

$F_Y(y)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, y^{1/4} \right)$

dimana $Q$ di sini adalah fungsi-Marcum .

Di atas berlaku untuk chi-kuadrat non-sentral yang dibentuk sebagai jumlah normal kuadrat independen masing-masing dengan varians kesatuan tetapi rata-rata berbeda.

ADDENDUM RESPONDING UNTUK EDIT PERTANYAAN

Jika basis rv adalah $N(0,c)$ , maka kuadrat masing-masing adalah a $Gamma (1/2,2c)$ lihat https://stats.stackexchange.com/a/122864/28746 .

Jadi rv $a \sim Gamma (M, 2c)$ dan $b \sim Gamma (M, 2c)$ jadi juga $X = a+b \sim Gamma(2M, 2c)$ (parametriisasi bentuk-skala, dan lihat artikel wikipedia untuk properti aditif untuk Gamma).

Kemudian orang dapat menerapkan lagi metode CDF untuk menemukan CDF dari alun-alun $Y = X^2$

Alecos Papadopoulos
sumber

@FelipeAugustodeFigueiredo Maaf, saya tidak terbiasa dengan rv kompleks. Jawaban saya menerima kenyataan bahwa kita mulai dari chi-square non-sentral.

Alecos Papadopoulos

Bagaimana jika rv adalah variabel acak Gaussian kompleks simetris bundar dengan

μ = 0

$\mu = 0$ dan

σ = c I

$\sigma = cI$ ?

Felipe Augusto de Figueiredo

mari kita lupakan tentang rv kompleks. Bagaimana jika rv menghasilkan

a

$a$ dan

d

$d$ adalah Gaussian rv's dengan

μ = 0

$\mu = 0$ dan

σ \neq 1

$\sigma \neq 1$ ? Semua Gaussian rv memiliki varian yang sama, sebut saja

c

$c$ .

Felipe Augusto de Figueiredo

bisa tolong bantu saya dengan pertanyaan berikut: stats.stackexchange.com/questions/253764/… . Petunjuk apa pun akan sangat dihargai. Terima kasih!

Felipe Augusto de Figueiredo

@FelipeAugustodeFigueiredo Saya khawatir saya tidak memiliki sesuatu untuk ditawarkan untuk pertanyaan itu.

Alecos Papadopoulos