jumlah variabel acak non-sentral Chi-square

21

Saya perlu menemukan distribusi variabel acak mana dan semua independen. Saya tahu bahwa adalah mungkin untuk pertama-tama menemukan produk dari semua fungsi yang menghasilkan momen untuk , dan kemudian mengubahnya kembali untuk mendapatkan distribusiNamun, saya bertanya-tanya apakah ada bentuk umum untuk seperti kasus Gaussian: kita tahu jumlah Gaussian independen masih merupakan Gaussian, dan dengan demikian kita hanya perlu mengetahui rangkuman rata-rata dan penjumlahan penjumlahan.

Y=i=1n(Xi)2
XiN(μi,σi2)XiXiYY

Bagaimana dengan semua ? Apakah kondisi ini akan menjadi solusi umum?σi2=σ2

jebakan
sumber
1
Melihat paragraf pertama di bawah sini , jelas kondisi terakhir menghasilkan chi-square noncentral berskala (dibagi dengan (faktor skala yang Anda ambil di depan) dan buat in ). Bentuk yang lebih umum yang Anda mulai dengan terlihat seperti kombinasi linier atau rata-rata tertimbang skala, dengan koefisien daripada jumlah sederhana dari kotak skala ... dan saya percaya bahwa umumnya tidak akan memiliki distribusi yang diperlukan. σ i = 1 k i = 1 ( X i / σ i ) 2 σ 2 iσ2σi=1i=1k(Xi/σi)2σi2
Glen_b -Reinstate Monica
Bergantung pada apa yang Anda butuhkan, dalam kasus-kasus tertentu Anda dapat melakukan konvolusi numerik, atau simulasi.
Glen_b -Reinstate Monica
Ini digeneralisasikan oleh distribusi 'jumlah log chi-square ke kekuasaan'. Paket R saya sadistsmenyediakan perkiraan fungsi 'dpqr' untuk ; cf github.com/shabbychef/sadistsY
shabbychef

Jawaban:

17

Seperti yang dicatat oleh Glen_b dalam komentar, jika variansnya sama, Anda berakhir dengan chi-squared noncentral.

Jika tidak, ada konsep distribusi chi-squared umum , yaitu untuk x N ( μ , Σ ) dan A tetap. Dalam hal ini, Anda memiliki kasus khusus dari diagonal Σ ( Σ i i = σ 2 i ), dan A = saya .xTSEBUAHxxN(μ,Σ)SEBUAHΣΣii=σi2A=I

Ada beberapa pekerjaan dalam hal komputasi dengan distribusi ini:

Anda juga dapat menulis sebagai kombinasi linear dari independen noncentral chi-kuadrat variabel , dalam hal ini:Y=i=1nσi2(Xi2σi2)

Bausch (2013) memberikan algoritma yang lebih efisien secara komputasi untuk kombinasi linear chi-squareds pusat; karyanya mungkin diperluas ke chi-squared noncentral, dan Anda mungkin menemukan beberapa petunjuk menarik di bagian kerja terkait.

Dougal
sumber
2
Perbandingan metode aproksimasi ditemukan di Duchesne et al. 2010. Statistik Komputasi dan Analisis Data, 54, 858–862. Penulis memelihara paket R CompQuadForm dengan implementasi.
caracal
-10

Ini akan menjadi Chi-Square dengan n derajat kebebasan.

Ahmed
sumber
6
Saya percaya Anda mengabaikan bahwa mungkin bukan nol. Komentar untuk pertanyaan serta jawaban yang ada informatif. μi
whuber