Statistik lengkap untuk dalam

Saya ingin tahu apakah statistik selesai untuk dalam pengaturan .

$$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$$ $\sigma^2$$N(\mu,\sigma^2)$

Apakah ini tergantung pada apakah sebelumnya diketahui atau tidak? Jika selesai untuk , maka oleh Lehmann-Scheffé itu UMVUE . Tetapi jika diketahui, kita dapat mempertimbangkan yang variansnya sama dengan Cramer-Rao terikat , dan benar-benar kurang dari , jadi tidak bisa UMVUE.$\mu$$T$$\sigma^2$$\mu$

$$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$$ $2\sigma^4/n$$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$$T$

Saya pikir saya telah memecahkan pertanyaan saya sendiri. Komentar tentang jawaban ini dan jawaban baru dipersilakan.

Jika adalah pengamatan dalam populasi dan tidak diketahui , maka (ini menunjukkan bahwa keluarga normal adalah keluarga eksponensial). Seperti gambar peta berisi set , dengan sebuah teorema (misalnya, lihat halaman 6 di sini ), statistik$x_1,\ldots,x_n$$N(\mu,\sigma^2)$$\mu$

$$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$$ $$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$$ $\mathbb{R}^2$$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$cukup dan lengkap untuk . Karena adalah fungsi dari dan berpusat untuk , oleh Lehmann-Scheffé adalah UMVUE untuk .$(\mu,\sigma^2)$$T$$U$$\sigma^2$$T$$\sigma^2$

Sekarang, jika yang dikenal , tidak milik ruang parametrik lagi, karena fungsi kepadatan "baru" adalah (kami memiliki keluarga eksponensial baru). Karena gambar peta berisi subset terbuka dari , statistik kami cukup dan lengkap untuk . Karena itu selain berpusat, adalah UMVUE untuk oleh Lehmann-Scheffé.$\mu=\mu_0$$\mu$

$$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$$ $$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$$ $\mathbb{R}$$W$$\sigma^2$$W$$\sigma^2$

Dalam statistik , digunakan sebagai estimasi . Jika Anda mengetahui nilai sebenarnya dari , maka penaksir varians lebih disukai. adalah berisi dan memiliki varian yang lebih rendah dari . Dengan demikian, dalam pengaturan di mana diketahui, penggunaan .$T(X_{1},\ldots,X_{n})$$\bar{X}$$\mu$$\mu$$W(X_{1},\ldots,X_{n})$$W$$T$$\mu$$W$