Regresi untuk hukum kekuasaan

Ini adalah pos silang dari Math SE .

Saya punya beberapa data (menjalankan waktu suatu algoritma) dan saya pikir itu mengikuti hukum kekuatan

Saya ingin menentukan dan . Apa yang telah saya lakukan sejauh ini adalah melakukan regresi linier (kuadrat terkecil) melalui dan menentukan dan dari koefisiennya.$k$$a$$\log(x), \log(y)$$k$$a$

Masalah saya adalah bahwa karena kesalahan "absolut" diminimalkan untuk "data log-log", apa yang diminimalkan ketika Anda melihat data asli adalah hasil bagi

Hal ini menyebabkan kesalahan absolut yang besar untuk nilai . Apakah ada cara untuk membuat "regresi kekuasaan-hukum" yang meminimalkan kesalahan "absolut" yang sebenarnya? Atau setidaknya apakah pekerjaan yang lebih baik untuk meminimalkan itu?$y$

Contoh:

Kurva merah cocok melalui seluruh dataset. Kurva hijau hanya cocok melalui 21 poin terakhir.

Berikut adalah data untuk plot. Kolom kiri adalah nilai-nilai ( sumbu), kolom kanan adalah nilai-nilai ( sumbu)$n$$x$$t$$y$

1.000000000000000000e+02,1.944999820000248248e-03
1.120000000000000000e+02,1.278203080000253058e-03
1.250000000000000000e+02,2.479853309999952970e-03
1.410000000000000000e+02,2.767649050000500332e-03
1.580000000000000000e+02,3.161272610000196315e-03
1.770000000000000000e+02,3.536506440000266715e-03
1.990000000000000000e+02,3.165302929999711402e-03
2.230000000000000000e+02,3.115432719999944224e-03
2.510000000000000000e+02,4.102446610000356694e-03
2.810000000000000000e+02,6.248937529999807478e-03
3.160000000000000000e+02,4.109296799998674206e-03
3.540000000000000000e+02,8.410178100001530418e-03
3.980000000000000000e+02,9.524117600000181830e-03
4.460000000000000000e+02,8.694799099998817837e-03
5.010000000000000000e+02,1.267794469999898935e-02
5.620000000000000000e+02,1.376997950000031709e-02
6.300000000000000000e+02,1.553864030000227069e-02
7.070000000000000000e+02,1.608576049999897034e-02
7.940000000000000000e+02,2.055535920000011244e-02
8.910000000000000000e+02,2.381920090000448978e-02
1.000000000000000000e+03,2.922614199999884477e-02
1.122000000000000000e+03,1.785056299999610019e-02
1.258000000000000000e+03,3.823622889999569313e-02
1.412000000000000000e+03,3.297452850000013452e-02
1.584000000000000000e+03,4.841355780000071440e-02
1.778000000000000000e+03,4.927822640000271981e-02
1.995000000000000000e+03,6.248602919999939054e-02
2.238000000000000000e+03,7.927740400003813193e-02
2.511000000000000000e+03,9.425949999996419137e-02
2.818000000000000000e+03,1.212073290000148518e-01
3.162000000000000000e+03,1.363937510000141629e-01
3.548000000000000000e+03,1.598689289999697394e-01
3.981000000000000000e+03,2.055201890000262210e-01
4.466000000000000000e+03,2.308686839999722906e-01
5.011000000000000000e+03,2.683506760000113900e-01
5.623000000000000000e+03,3.307920660000149837e-01
6.309000000000000000e+03,3.641307770000139499e-01
7.079000000000000000e+03,5.151283440000042901e-01
7.943000000000000000e+03,5.910637860000065302e-01
8.912000000000000000e+03,5.568920769999863296e-01
1.000000000000000000e+04,6.339683309999486482e-01
1.258900000000000000e+04,1.250584726999989016e+00
1.584800000000000000e+04,1.820368430999963039e+00
1.995200000000000000e+04,2.750779816999994409e+00
2.511800000000000000e+04,4.136365994000016144e+00
3.162200000000000000e+04,5.498797844000023360e+00
3.981000000000000000e+04,7.895301083999981984e+00
5.011800000000000000e+04,9.843239714999981516e+00
6.309500000000000000e+04,1.641506008199996813e+01
7.943200000000000000e+04,2.786652209900000798e+01
1.000000000000000000e+05,3.607965075100003105e+01
1.258920000000000000e+05,5.501840400599996883e+01
1.584890000000000000e+05,8.544515980200003469e+01
1.995260000000000000e+05,1.273598972439999670e+02
2.511880000000000000e+05,1.870695913819999987e+02
3.162270000000000000e+05,3.076423412130000088e+02
3.981070000000000000e+05,4.243025571930002116e+02
5.011870000000000000e+05,6.972544795499998145e+02
6.309570000000000000e+05,1.137165088436000133e+03
7.943280000000000000e+05,1.615926472178005497e+03
1.000000000000000000e+06,2.734825116088002687e+03
1.584893000000000000e+06,6.900561992643000849e+03

(maaf untuk notasi ilmiah yang berantakan)

Jika Anda ingin varians kesalahan yang sama pada setiap pengamatan dalam skala yang tidak diubah, Anda dapat menggunakan kuadrat terkecil nonlinear.

(Ini sering tidak cocok; kesalahan pada banyak pesanan besar jarang dalam ukuran konstan.)

Jika kita terus maju dan menggunakannya, kita akan lebih cocok dengan nilai-nilai selanjutnya:

Dan jika kita memeriksa residu kita dapat melihat bahwa peringatan saya di atas sepenuhnya beralasan:

Ini menunjukkan bahwa variabilitas tidak konstan pada skala asli (dan bahwa kesesuaian kurva daya tunggal ini tidak cocok dengan semua yang baik di ujung yang tinggi, karena ada kelengkungan yang berbeda di kuartal ketiga kisaran nilai log pada skala x - antara sekitar 0 dan 5 pada sumbu x di atas). Variabilitas lebih dekat ke konstan dalam skala log (meskipun itu sedikit lebih variabel dalam hal relatif pada nilai rendah daripada yang tinggi di sana).

Apa yang terbaik untuk dilakukan di sini tergantung pada apa yang ingin Anda capai.

Sebuah makalah oleh Lin dan Tegmark dengan baik meringkas alasan mengapa distribusi proses lognormal dan / atau markov gagal untuk menyesuaikan data yang menampilkan perilaku kekuatan hukum yang kritis ... https://ai2-s2-pdfs.s3.amazonaws.com/5ba0/3a03d844f10d7b4861d3b116818afe2b75f2 .pdf . Seperti yang mereka catat, "Proses Markov ... gagal secara episial dengan memprediksi informasi timbal balik yang saling membusuk secara eksponensial ..." Solusi dan rekomendasi mereka adalah menggunakan jaringan saraf pembelajaran yang dalam seperti model memori jangka pendek (LSTM) jangka panjang.

Menjadi sekolah tua dan tidak fasih berbicara atau nyaman dengan NN atau LSTM, saya akan memberikan tip untuk pendekatan nonlinier @ glen_b. Namun, saya lebih suka solusi yang lebih mudah ditelusuri dan mudah diakses seperti regresi kuantil berbasis nilai. Setelah menggunakan pendekatan ini pada klaim asuransi berekor berat, saya tahu bahwa itu dapat memberikan kecocokan yang jauh lebih baik pada ekor daripada metode yang lebih tradisional, termasuk model log-log multiplikatif. Tantangan sederhana dalam menggunakan QR adalah menemukan kuantil yang sesuai yang menjadi dasar model seseorang. Biasanya, ini jauh lebih besar daripada median. Yang mengatakan, saya tidak ingin menjual lebih banyak metode ini karena masih ada kekurangan yang signifikan dalam nilai-nilai paling ekstrim dari ekor.

Hyndman, et al ( http://robjhyndman.com/papers/sig-alternate.pdf ), mengusulkan alternatif QR yang mereka sebut meningkatkan regresi kuantil aditif . Pendekatan mereka membangun model di seluruh jajaran atau kisi-kisi kuantil, menghasilkan perkiraan probabilitas atau perkiraan yang dapat dievaluasi dengan salah satu distribusi nilai ekstrem, misalnya, Cauchy, Levy-stable, apa pun. Saya belum menggunakan metode mereka tetapi tampaknya menjanjikan.

Pendekatan lain untuk pemodelan nilai ekstrim dikenal sebagai POT atau model peak over threshold. Ini melibatkan penetapan ambang batas atau cut-off untuk distribusi nilai empiris dan hanya memodelkan nilai-nilai terbesar yang berada di atas cutoff berdasarkan GEV atau distribusi nilai ekstrim umum. Keuntungan dari pendekatan ini adalah kemungkinan nilai ekstrem di masa depan dapat dikalibrasi atau ditempatkan berdasarkan parameter dari model. Namun, metode ini memiliki kelemahan yang jelas bahwa seseorang tidak menggunakan PDF lengkap.

Akhirnya, dalam makalah 2013, JP Bouchaud mengusulkan RFIM (model isian lapangan acak) untuk memodelkan informasi kompleks yang menampilkan kekritisan dan perilaku berekor berat seperti menggiring, tren, longsoran salju, dan sebagainya. Bouchaud termasuk dalam kelas polymath yang harusnya mencakup orang-orang seperti Mandelbrot, Shannon, Tukey, Turing, dll. Saya dapat mengklaim sangat tertarik dengan pembahasannya sementara, pada saat yang sama, diintimidasi oleh kerasnya keterlibatan dalam menerapkan sarannya. . https://www.researchgate.net/profile/Jean-Philippe_Bouchaud/publication/230788728_Crises_and_Collective_Socio-Economic_Pimple_Models_and_Challenges/links/5682d40008ae051file&p=9pelangga&hl=id&hl=id&hl=id