Apa itu Konvergensi Epsilon dalam Probabilitas?

8

Saya mengerti bahwa rumus untuk probabilitas konvergensi adalah P[|XnX|>ϵ]0dan saya bisa memecahkan masalah menggunakan rumus. Adakah yang bisa menjelaskannya secara intuitif (seperti saya berusia lima tahun), terutama dalam hal apaϵ adalah?

bdempe
sumber
Kami belajar εdi kelas 9 di kelas Analisis di sekolah menengah. Itu adalah salah satu hal yang paling sulit dipahami bagi saya. Saya tidak berpikir Anda bisa menjelaskannya secara normal 5 tahun
Aksakal
Tidak secara harfiah sampai usia lima Anda .... Jelas sejelas mungkin
bdempe
Saya, untuk satu, tidak mengerti ini dalam konteks batasan. P[|XnX|<ϵ]0 akan memungkinkan seseorang untuk memilih ϵ sekecil apa pun perbedaannya P[|XnX| kurang dari itu akan bertemu, tetapi P[|XnX|>ϵ]tidak akan. Jadi, tolong jelaskan.
Carl

Jawaban:

4

Karena kita sedang berbicara tentang konvergensi - khususnya, dalam hal ini, Xn konvergen ke X - kami ingin menunjukkan itu Xn menjadi sangat, sangat, sangat dekat X sebagai n menjadi lebih besar dan lebih besar.

Pikirkan εsebagai angka positif yang sangat kecil; katakan kamu pikirε=0.01cukup baik Kemudian untuk menunjukkan ituXn sangat, sangat, sangat dekat X, kami ingin menunjukkan itu Xn jatuh di dalam (X0.01,X+0.01) untuk yang cukup besar n. (Cukup besarn hanya berarti ada beberapa n sedemikian rupa untuk setiap n>n, Xn ada dalam plus atau minus 0.01 dari X dengan probabilitas 1.)

Tetapi katakan bahwa saya tidak yakin akan hal itu Xn konvergen ke X karena ε=0.01sepertinya terlalu besar untukku. Jadi sebagai gantinya, biarkanε=0.0001. Lalu aku yakin ituXn konvergen ke X (atau itu Xn sangat, sangat, sangat dekat X) jika kita bisa menunjukkan itu, cukup besar n, Xn jatuh di dalam (X0.0001,X+0.0001).

Misalkan Anda memiliki banyak teman yang memilih εmenjadi lebih kecil dan lebih kecil. Gagasan di balik konvergensi adalah untuk siapa punε>0, tidak masalah seberapa kecil ε dapatkan, menunjukkan itu Xn jatuh di dalam X±ε untuk yang cukup besar n menunjukkan itu Xn konvergen ke X.

Dalam istilah yang paling mendasar, εhanyalah angka positif kecil. Karena ini berkaitan dengan konvergensi, Anda ingin dapat menunjukkannya untuk apa sajaε>0 (agar semua teman tak terbatas Anda berbeda ε nilai diyakinkan), urutan yang konvergen akan, pada titik tertentu, masuk dalam plus atau minus εdari batas yang Anda yakini urutannya menyatu. Jika Anda tidak dapat menunjukkan bahwa urutan Anda termasuk dalamε dari batas yang diyakini untuk beberapa ε, maka urutan tidak dapat konvergen ke batas itu.

Matt Brems
sumber
Bisakah Anda mengatakan yang lebih kecil ϵ , tentu membutuhkan yang lebih besar nuntuk membuktikannya menyatu?
Matt L.
Itu umumnya terjadi, Matt, tetapi tidak selalu benar. Sebagai contoh sepele, katakanlah urutan Anda{2,2,2,...} dan Anda ingin menunjukkan bahwa ini menyatu ke 2. Tidak peduli seberapa kecil Anda ε adalah, n=1akan cukup untuk membuktikan bahwa itu menyatu. Namun, penting untuk menunjukkan bahwa, untuk membuktikan sesuatu yang menyatu dalam konteks ini, Anda harus dapat menunjukkan ini untuk * semua * ε>0, tidak masalah seberapa kecil. Tidak cukup untuk memilih satuεdan mengatakan itu menyatu. Misalnya, perhatikan urutan yang diberikan olehXn=sin(n) dan biarkan ε=10.
Matt Brems
5

Urutan variabel acak.

Intuisi berasal dari metafora. Metafora berikut ini, yang memodelkan jumlah acak dengan menarik selembar kertas dari wadah, menangkap semua elemen matematika yang penting sambil menutupi kondisi teknis ("terukur") yang diperlukan untuk memahami situasi dengan banyak tiket yang tak terhitung jumlahnya.


Pertimbangkan model tiket ruang sampel dalam kotakΩ: nama setiap elemen ωΩditulis di selembar kertas ("tiket") yang dimasukkan ke dalam kotak. Elemen-elemen dengan probabilitas lebih besar diberi nama pada lebih banyak tiket.

Sebuah variabel acak Xadalah cara yang konsisten dalam menulis nomor pada setiap tiket. "Konsisten" berarti semua tiket untuk yang khususω semua mendapatkan nilai yang sama X, tertulis X(ω).

Sebuah urutan variabel acak X1,X2,,Xn, karena itu dapat dipahami sebagai suatu urutan X1(ω),X2(ω), tertulis di setiap tiket (sekali lagi dengan cara yang konsisten).

X adalah variabel acak lain, yang merupakan satu lagi nomor yang ditulis pada setiap tiket.

Peristiwa dan probabilitas.

Membiarkan ϵmenjadi bilangan real apa pun. Kami akan mengatakan lebih banyak tentang hal ini di bawah ini.

The event |XnX|ϵ menjelaskan semua tiket ωΩ untuk yang nilainya Xn(ω) dan X(ω) berbeda dengan ϵatau lebih. Ini adalah bagian dari tiket di dalam kotak. Tiket-tiket ini membentuk proporsi kotak: proporsi itu memodelkan probabilitas mereka ,Pr(|XnX|ϵ).

Batas.

Setiap pernyataan tentang batasan adalah bentuk permainan matematika. Ketika kami menulis bahwa beberapa urutan memiliki batasL, yang kami maksud adalah kami dapat memainkan permainan melawan lawan hipotetis (yang melakukan yang terbaik untuk membuat kami kalah) dan kami akan selalu menang . Dalam permainan batas, lawan Anda menyebutkan beberapa angka positif - biasanya angka kecil - yang akan kami sebutδ. Anda menang jika Anda dapat menghapus terbatas sejumlah elemen dari urutan itu dan menunjukkan bahwa semua elemen yang tersisa berada dalam jarakδ dari L. Seperti dalam game apa pun, Anda dapat mengkalibrasi respons Anda terhadap gerakan lawan: elemen yang Anda hapus bergantung padaδ.

Batas dalam probabilitas.

Mari kita terapkan permainan batas pada pernyataan Pr(|XnX|ϵ)0. Karena pernyataan ini melibatkan jumlah yang tidak ditentukanϵ, lawan Anda juga dapat menentukan nilainya. Itu membuat permainan sesulit mungkin bagi Anda untuk menang.

Jadi, apa pun nilainya ϵ dan δ>0 lawan Anda menentukan, respons Anda akan mencoret sejumlah variabel acak hingga Xidi tiket. Untuk setiap variabel acak yang tersisaXn, biarkan tiketnya kemana Xn(ω) berbeda dari X(ω) oleh ϵ atau lebih menjadi "buruk" untuk n. Anda memenangkan permainan asalkan proporsi tiket buruk selalu kurang dariδ(untuk semua yangXn yang tersisa).

Sedikit pemikiran mengungkapkan kehalusan permainan ini: tiket buruk untukn tidak harus memiliki hubungan dengan tiket buruk untuk m (dimana n dan mtunjuk salah satu variabel acak yang tersisa yang tidak Anda coret). Dengan kata lain, pada tiket mana pun nilainyaXn(ω)dapat memantul di semua tempat. Batas probabilitas adalah pernyataan tentang apa yang tertulis pada semua tiket di dalam kotak tetapi itu bukan pernyataan tentang apa yang mungkin ditulis pada setiap tiket.

whuber
sumber
Umur saya lima tahun. Saya tidak tahu apa yang Anda bicarakan. Anda kehilangan saya di "ruang sampel Ω". Anda akan kehilangan teman sekelas saya yang kurang dewasa di kalimat pertama. Terima kasih telah mencoba.
1
@ickeyf Sama-sama. Saya memperhatikan komentar OP di stats.stackexchange.com/questions/242793/… .
whuber