Mengapa estimator OLS untuk koefisien AR (1) bias?

11

Saya mencoba memahami mengapa OLS memberikan penduga yang bias dari proses AR (1). Pertimbangkan Dalam model ini, eksogenitas ketat dilanggar, yaitu dan berkorelasi tetapi dan tidak berkorelasi. Tetapi jika ini benar, lalu mengapa derivasi sederhana berikut tidak berlaku?

yt=α+βyt1+ϵt,ϵtiidN(0,1).
ytϵtyt1ϵt
plim β^=Cov(yt,yt1)Var(yt1)=Cov(α+βyt1+ϵt,yt1)Var(yt1)=β+Cov(ϵt,yt1)Var(yt1)=β.
Florestan
sumber
Ada beberapa pertanyaan terkait di Cross Validated. Anda bisa mendapat manfaat dari mencari mereka.
Richard Hardy
Saya melihat mereka, tetapi mereka tidak benar-benar membantu saya. Saya menemukan bukti dan simulasi yang menunjukkan hasil ini. Yang saya minati adalah apa yang salah dengan alasan saya di atas.
Florestan
1
Ketika Anda menggunakan plim , bukankah Anda lebih menekankan konsistensi daripada bias (un)? Untuk (tidak) bias Anda harus menggunakan harapan.
Richard Hardy
Anda sepenuhnya benar, itu bisa memecahkan teka-teki. Jadi jika persamaan di atas tidak berlaku tanpa plim, maka itu tidak akan bertentangan dengan bias OLS dalam sampel kecil dan menunjukkan konsistensi OLS pada saat yang sama. Meskipun saya agak tidak yakin: Apakah formula kovarians atas varian ini benar-benar hanya berlaku untuk plim dan tidak juga dalam harapan? Terima kasih banyak!
Florestan
1
Estimator OLS sendiri tidak melibatkan s, Anda hanya perlu melihat ekspektasi dalam sampel hingga. plim
Richard Hardy

Jawaban:

10

Seperti pada dasarnya dibahas dalam komentar, ketidakberpihakan adalah properti sampel yang terbatas, dan jika dipegang akan dinyatakan sebagai

E(β^)=β

(di mana nilai yang diharapkan adalah momen pertama dari distribusi sampel-terbatas)

sedangkan konsistensi adalah sifat asimptotik yang dinyatakan sebagai

plimβ^=β

OP menunjukkan bahwa meskipun OLS dalam konteks ini bias, tetap konsisten.

E(β^)βbutplimβ^=β

Tidak ada kontradiksi di sini.

Alecos Papadopoulos
sumber
6

@Alecos menjelaskan mengapa plim dan bias yang benar tidak sama. Adapun alasan mendasar mengapa penaksir tidak bias, ingat bahwa ketidakberpihakan penaksir mensyaratkan bahwa semua istilah kesalahan berarti independen dari semua nilai regressor, .E(ϵ|X)=0

Dalam kasus ini, matriks regresi terdiri dari nilai-nilai , sehingga - lihat komentar mpiktas '- kondisi diterjemahkan menjadi untuk semua .y1,,yT1E(ϵs|y1,,yT1)=0s=2,,T

Di sini, kita punya

yt=βyt1+ϵt,
Bahkan di bawah asumsi kita memiliki Tapi, juga merupakan regressor untuk nilai-nilai masa depan dalam model AR, seperti .E(ϵtyt1)=0
E(ϵtyt)=E(ϵt(βyt1+ϵt))=E(ϵt2)0.
ytyt+1=βyt+ϵt+1
Christoph Hanck
sumber
3
Saya akan menambahkan klarifikasi bahwa dalam hal ini diterjemahkan menjadi untuk setiap . Kemudian diskusi selanjutnya menjadi sedikit lebih jelas. E(ε|X)E(εs|y1,...,yT)s
mpiktas
Poin baiknya, saya melakukan edit
Christoph Hanck
3

Memperluas dua jawaban bagus. Tuliskan estimator OLS:

β^=β+t=2Tyt1εtt=2Tyt12

Untuk ketidakberpihakan kita perlu

E[t=2Tyt1εtt=2Tyt12]=0.

Tetapi untuk itu kita membutuhkan untuk setiap . Untuk model AR (1) ini jelas gagal, karena terkait dengan nilai masa depan .E(εt|y1,...,yT1)=0,tεtyt,yt+1,...,yT

mpiktas
sumber
Hanya untuk memeriksa apakah saya sudah benar: Masalahnya bukan pembilangnya, untuk setiap t dan tidak berkorelasi. Masalahnya adalah penyebut yang menampilkan t lebih tinggi sehingga ada korelasi antara pembilang dan penyebut sehingga saya tidak bisa mengambil harapan dalam jumlah pembilang (di bawah eksogenitas ketat saya bisa melakukannya ?!). Apakah itu intuisi matematika yang benar? yt1ϵt
Florestan
Ya itu intuisi yang benar. Perhatikan bahwa eksogenitas ketat tidak mungkin dalam kasus ini, tetapi untuk ketidakberpihakan eksogenitas ketat menjadi persyaratan.
mpiktas