Variabel acak dimana Markov, Chebyshev ketidaksetaraannya ketat

Saya tertarik untuk membangun variabel acak yang ketidaksamaan Markov atau Chebyshev sangat ketat.

Contoh sepele adalah variabel acak berikut.

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$ . Mean-nya adalah nol, varians adalah 1 dan . Untuk variabel acak ini chebyshev ketat (berlaku dengan kesetaraan).$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

Apakah ada variabel acak yang lebih menarik (tidak seragam) dengan Markov dan Chebyshev yang ketat? Beberapa contoh akan bagus.

Kelas distribusi yang menjadi pegangan kasus pembatasan Chebyshev diketahui (dan tidak sulit untuk hanya menebak). Dinormalisasi untuk lokasi dan skala itu

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

Ini (hingga skala) solusi yang diberikan di halaman Wikipedia untuk ketidaksetaraan Chebyshev .

[Anda dapat menulis urutan distribusi (dengan menempatkan lebih banyak probabilitas di pusat dengan yang sama dihapus secara merata dari titik akhir) yang benar-benar memenuhi ketidaksetaraan dan pendekatan yang membatasi kasing sedekat yang diinginkan.]$\epsilon>0$

Solusi lain dapat diperoleh dengan lokasi dan skala pergeseran ini: Misalkan .$X=\mu+\sigma Z$

Untuk ketimpangan Markov, misalkanjadi Anda memiliki probabilitas pada 0 dan pada . (Seseorang dapat memperkenalkan parameter skala di sini tetapi bukan parameter lokasi)$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$$k$

Ketidaksetaraan saat - dan memang banyak ketidaksetaraan serupa lainnya - cenderung memiliki distribusi diskrit sebagai kasus yang membatasi mereka.

Saya percaya bahwa mendapatkan distribusi terus menerus atas seluruh sumbu nyata yang mengikuti batas Chebyshev mungkin tidak mungkin.

$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$

$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$

$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$$\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$