Distribusi bersyarat variabel acak seragam yang diberikan statistik Pesanan

Saya punya pertanyaan berikut:

Misalkan adalah variabel acak iid mengikuti Unif . apa distribusi kondisional dari diberikan ?$U,V$$(0,1)$$U$$Z:=\max(U,V)$

Saya mencoba menulis $Z=\Bbb{I}\cdot V+(1-\Bbb{I})\cdot U$ mana $\Bbb{I}=\begin{cases}1&U<V\\0&U>V\end{cases}$

Tapi saya tidak mendapatkan apa-apa.

Sebuah gambar mungkin bisa membantu. Distribusi seragam independen pada interval dapat dianggap sebagai distribusi seragam pada unit square . Acara adalah wilayah di alun-alun dan probabilitasnya adalah wilayah mereka.$[0,1]$$I^2 = [0,1]\times [0,1]$

Mari berupa nilai yang mungkin dari . Himpunan koordinat mana membentuk tepi atas dan kanan dari kuadrat sisi . Biarkan menjadi angka positif kecil. Himpunan koordinat yang terletak maksimum antara dan membentuk penebalan sempit persegi itu, seperti diarsir dalam gambar. Luasnya adalah perbedaan area dua kotak, satu sisi dan yang lain dari sisi , dari mana$z$$\max(U,V)$$(U,V)$$\max(U,V)=z$$z$$dz$$(U,V)$$z$$z+dz$$z+dz$$z$

$$\Pr(z \le Z \le z+dz) = (z+dz)^2 - z^2 = 2z\,dz + (dz)^2.\tag{1}$$

Biarkan menjadi nilai memungkinkan : ditandai dengan garis putus-putus vertikal pada gambar. $u$$U$

Panel kiri menunjukkan case di mana : Peluang bahwa akan menjadi area di sebelah kiri garis itu (sama dengan ); tetapi kejadian dimana dan terletak antara dan hanyalah area yang diarsir cokelat. Itu adalah persegi panjang, jadi luasnya adalah lebarnya kali tinggi . Jadi,$u \le z$$U\le u$$u$$U\le u$ $Z$$z$$z+dz$$u$$dz$

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\,dz.\tag{2}$$

Panel kanan menunjukkan case di mana . Sekarang kemungkinan bahwa dan terdiri dari dua persegi panjang. Yang teratas memiliki basis dan tinggi ; yang tepat memiliki basis dan tinggi . Karena itu$z \lt u \le z+dz$$U \le u$$z \lt Z \le z+dz$$u$$dz$$(u-z)$$z+dz$

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\, dz + (u-z)(z+dz).\tag{3}$$

Menurut definisi, probabilitas bersyarat adalah peluang-peluang ini dibagi dengan peluang total yang diberikan oleh , seperti yang diberikan pada atas. Bagilah dan dengan nilai ini. Membiarkan menjadi sangat kecil, dan mempertahankan bagian standar dari hasil, memberikan peluang bersyarat pada . Jadi, ketika ,$z \le Z \le z+dz$$(1)$$(2)$$(3)$$dz$$Z=z$$0 \le u \le z$

$$\Pr(U \le u\,|\, Z=z) = \frac{u\,dz}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{u}{2z + dz} \approx \frac{u}{2z}.$$

Ketika , tulis untuk dan hitung$z \lt u \le z+dz$$u = z + \lambda dz$$0 \lt \lambda \le 1$

$$\Pr(U \le u|Z=z) = \frac{u\, dz + (u-z)(z+dz)}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{(z + \lambda dz)dz + (\lambda dz)(z+dz)}{2z\,dz+(dz)^2}\approx\frac{1+\lambda}{2}.$$

Akhirnya, untuk , area cokelat di panel kanan telah tumbuh sama dengan area abu-abu, di mana rasio mereka adalah .$u \gt z+dz$$1$

Hasil ini menunjukkan bahwa probabilitas bersyarat tumbuh secara linear dari ke ketika tumbuh dari hingga , kemudian naik secara linear dari ke dalam interval sangat kecil antara dan , kemudian tinggal di untuk semua yang lebih besar . Ini sebuah grafik:$0$$z/(2z)=1/2$$u$$0$$z$$1/2$$1$$z$$z+dz$$1$$u$

Karena sangat kecil, tidak mungkin lagi untuk membedakan dari secara visual: plot melompat dari ketinggian ke .$dz$$z$$z+dz$$1/2$$1$

Menempatkan yang sebelumnya bersama-sama menjadi formula tunggal untuk diterapkan ke sembarang yang , kita bisa menulis fungsi distribusi bersyarat sebagai$z$$0 \lt z \le 1$

$$F_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{u}{2z} & 0 \lt u\le z \\ 1 & u \gt z. \end{array} \right.$$

---

Ini jawaban yang lengkap dan teliti. Lompatan menunjukkan bahwa fungsi kepadatan probabilitas tidak akan cukup menggambarkan distribusi kondisional pada nilai . Namun, pada semua titik lainnya, ada kepadatan . Ini sama dengan untuk , untuk (turunan dari sehubungan dengan ), dan untuk . Anda bisa menggunakan "fungsi umum" untuk menulis ini dalam bentuk seperti kepadatan. Biarkan menjadi "kepadatan umum" yang memberikan lompatan besar$U=z$$f_{U|Z=z}(u)$$0$$u\le 0$$1/(2z)$$0 \le u \lt z$$u/(2z)$$u$$0$$u \gt z$$\delta_z$$1$di : yaitu, "densitas" atom probabilitas satuan yang terletak di . Maka kerapatan umum pada dapat ditulis untuk mengungkapkan fakta bahwa probabilitas terkonsentrasi pada . Secara penuh, kita bisa menulis$z$$z$$z$$\frac{1}{2}\delta_z$$1/2$$z$

$$f_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{1}{2z} & 0 \lt u\lt z \\ \frac{1}{2}\delta_z(u) & u=z \\ 0 & u \gt z. \end{array} \right.$$

Pertama-tama perhatikan distribusi bersyarat maksimum pada . maksimum menjadi sama dengan jika dengan probabilitas bersyarat . Jika tidak, mengambil beberapa lebih besar nilai dari sama untuk . Distribusi kondisional keseluruhan dengan demikian akan menjadi campuran antara massa titik pada (ukuran u) dan kerapatan seragam pada (berintegrasi dengan ). Mewakili massa titik dengan fungsi Dirac delta, fungsi kerapatan probabilitas umum (gpdf) dari distribusi bersyarat ini adalah $Z$$U=u$$Z$$u$$V<u$$u$$Z$$u$$V$$u$$(u,1)$$1-u$

$$f_{Z|U=u}(z) = u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases}$$ Gabungan gpdf dari dan kemudian PDF maksimum adalah . Karenanya, gpdf bersyarat dari diberikan maksimum menjadi $Z$$U$ $$\begin{align} f_{Z,U}(z,u) &= f_{Z|U=u}(z)f_U(u) \\ &= u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }0<u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases} \end{align}$$ $f_Z(z)=2z$$U$$Z$ $$\begin{align} f_{U|Z=z}(u) &= \frac{f_{Z,U}(z,u)}{f_Z(z)} \\ &= \frac12\delta(z-u) + \begin{cases} \frac1{2z} & \text{for }0<u<z \\ 0 &\text{otherwise}, \end{cases} \end{align}$$ $z$dengan probabilitas 1/2 dan kerapatan seragam pada berintegrasi ke 1/2.$(0,z)$