Berarti distribusi eksponensial terbalik

Diberikan variabel acak , apa maksud dan varians dari ?$Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

Saya melihat Inverse Gamma Distribution, tetapi rerata dan varians masing-masing hanya didefinisikan untuk dan ...$\alpha>1$$\alpha>2$

Mengingat bahwa distribusi eksponensial terbalik memiliki , Anda telah menemukan fakta bahwa rata-rata eksponensial terbalik adalah . Dan oleh karena itu, varian dari eksponensial terbalik tidak terdefinisi.$\alpha = 1$$\infty$

Jika terbalik terdistribusi secara eksponensial, ada dan terbatas untuk , dan untuk .$G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Saya akan menunjukkan perhitungan untuk rata-rata distribusi Eksponensial sehingga Anda akan mengingat pendekatannya. Lalu, saya akan pergi untuk eksponensial terbalik dengan pendekatan yang sama.

Diberikan $f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Mengintegrasikan per bagian (abaikan di depan integral untuk saat ini),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

Kalikan dengan di depan integral,$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

Evaluasi untuk dan ∞ ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

Yang merupakan hasil yang diketahui.

Untuk , logika yang sama berlaku.$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

Perbedaan utama adalah bahwa untuk integrasi dengan bagian-bagian,

$u = y^{-1}$

dan

$du = -1y^{-2}$

jadi itu tidak membantu kami untuk . Saya pikir integral tidak didefinisikan di sini. Wolfram alpha katakan padaku itu tidak konvergen.$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

Setelah simulasi cepat (dalam R), tampaknya rata-rata tidak ada:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Demi perbandingan, inilah yang terjadi dengan variabel acak eksponensial asli.