A berhubungan positif dengan B.

C adalah hasil dari A dan B, tetapi efek A pada C adalah negatif dan efek B pada C adalah positif.

Bisakah ini terjadi?

Jawaban lainnya benar-benar luar biasa - mereka memberikan contoh kehidupan nyata.

Saya ingin menjelaskan mengapa ini bisa terjadi meskipun kita memiliki intuisi yang bertentangan.

Lihat ini secara geometris !

Korelasi adalah kosinus sudut antara vektor. Pada dasarnya, Anda bertanya apakah itu mungkin

• $A$ membuat sudut tajam dengan ( korelasi positif )$B$
• $B$ membuat sudut akut dengan ( korelasi positif )$C$
• $A$ membuat sudut tumpul dengan ( korelasi negatif )C$C$

Ya tentu saja:

Dalam contoh ini ( menunjukkan korelasi):$\rho$

• $A=(0.6,0.8)$
• $B=(1,0)$
• $C=(0.6,-0.8)$
• $\rho(A,B)=0.6>0$
• $\rho(B,C)=0.6>0$
• $\rho(A,C)=-0.28<0$

Intuisi Anda Benar!

Namun, kejutan Anda tidak salah tempat.

Sudut antara vektor adalah metrik jarak pada satuan bola, sehingga memenuhi ketimpangan segitiga:

jadi, karena ,$\cos \measuredangle AB = \rho(A,B)$

Oleh karena itu (karena adalah penurunan pada )$\cos$[ 0 , π ]$[0,\pi]$

Begitu,

• jika , maka$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.9$$\rho(A,B)\ge 0.62$
• jika , maka$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.95$$\rho(A,B)\ge 0.805$
• jika , maka$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.99$$\rho(A,B)\ge 0.9602$

Ya, dua kondisi yang terjadi bersamaan dapat memiliki efek yang berlawanan.

Sebagai contoh:

• Membuat pernyataan keterlaluan (A) secara positif terkait dengan menghibur (B).
• Membuat pernyataan keterlaluan (A) memiliki efek negatif pada kemenangan pemilihan (C).
• Menjadi menghibur (B) memiliki efek positif pada kemenangan pemilihan (C).

Saya pernah mendengar analogi mobil ini yang berlaku baik untuk pertanyaan:

• Mengemudi menanjak (A) secara positif terkait dengan pengemudi menginjak gas (B)
• Mengemudi menanjak (A) memiliki efek negatif pada kecepatan kendaraan (C)
• Menginjak gas (B) memiliki efek positif pada kecepatan kendaraan (C)

Kuncinya di sini adalah niat pengemudi untuk mempertahankan kecepatan konstan (C), oleh karena itu korelasi positif antara A dan B secara alami mengikuti dari niat itu. Anda dapat membuat contoh A, B, C yang tak ada habisnya dengan hubungan ini.

Analogi ini berasal dari interpretasi Milton Friedman's Thermostat dan berasal dari analisis kebijakan moneter dan ekonometrik yang menarik, tetapi itu tidak relevan dengan pertanyaan tersebut.

Ya, ini sepele untuk ditunjukkan dengan simulasi:

Mensimulasikan 2 variabel, A dan B yang berkorelasi positif:

> require(MASS)
> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(10,3,3,2),2,2)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0, 2), Sigma))
> names(dt) <- c("A","B")
> cor(dt)

          A         B
A 1.0000000 0.6707593
B 0.6707593 1.0000000

Buat variabel C:

> dt$C <- dt$A - dt$B + rnorm(1000,0,5)

Melihat:

> (lm(C~A+B,data=dt))

Coefficients:
(Intercept)            A            B  
    0.03248      0.98587     -1.05113  

$\operatorname{cor}(A,B) > 0$$\operatorname{cor}(A,C) > 0$$\operatorname{cor}(B,C) < 0$

> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(1,0.5,0.5,0.5,1,-0.5,0.5,-0.5,1),3,3)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0,3), Sigma, empirical=TRUE))
> names(dt) <- c("A","B","C")
> cor(dt)
    A    B    C
A 1.0  0.5  0.5
B 0.5  1.0 -0.5
C 0.5 -0.5  1.0

Maka kovarians antara C dan A bisa negatif dalam dua kondisi:

1. $n>m,\ \left<A,A\right> < \left<B,A\right> (n-m)/n$
2. $n<-m,\ \left<A,A\right> > \left<B,A\right> (n-m)/n$