Distribusi bentuk kuadrat normals

Saya mencoba untuk mencari tahu distribusi mana , iid aku tahu itu, mengambil masing-masing istilah secara terpisah, dan

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

Tetapi saya tidak yakin tentang distribusi (*)

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution Zailei Chen
sumber

Selamat datang di situs kami! Apakah ini pertanyaan dari kursus atau buku teks? Jika demikian, silakan tambahkan [self-study]tag & baca wiki -nya . Kalau tidak, akan menarik untuk mengetahui dalam konteks apa masalah ini muncul. Terima kasih telah menunjukkan kepada kami apa yang telah Anda lakukan dan di mana Anda terjebak

Silverfish

@ Silververfish Tidak, ini hanya sesuatu yang saya coba cari tahu. Saya telah menyaring masalah ke pertanyaan sederhana ini; masalah asli saya agak sedikit lebih rumit, saya takut! Jadi, saya sudah mencoba hanya meminta bagian yang saya benar-benar butuh bantuan. Tapi, jika ini terlihat seperti masalah buku teks, saya akan sangat tertarik untuk belajar dari teks mana, berharap itu memberikan informasi yang relevan :)

Zailei Chen

Tampaknya masuk akal! Juga, terima kasih telah menggunakan pengaturan huruf Lateks, kami selalu menghargai upaya

Silverfish

Jawaban:

Berikut ini upaya :

$Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

{M.}_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

{M.}_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

{M.}_{Z} (t) = {M.}_{X} (t) {M.}_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

{M.}_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

Saya tidak yakin apakah itu dapat dikurangi menjadi MGF yang dapat dipahami.

hak cipta
sumber

Beberapa diskusi tentang situasi yang sedikit lebih umum muncul di stats.stackexchange.com/questions/72479 , dengan referensi ke makalah yang menawarkan perkiraan.

whuber