Teorema batas pusat menyatakan bahwa rata-rata variabel iid, ketika menuju tak terhingga, menjadi terdistribusi secara normal.
Ini menimbulkan dua pertanyaan:
- Bisakah kita menyimpulkan dari hukum jumlah besar ini? Jika hukum bilangan besar mengatakan bahwa rata-rata sampel dari nilai variabel acak sama dengan rata-rata sebenarnya ketika menuju tak terhingga, maka tampaknya lebih kuat untuk mengatakan bahwa (seperti yang dikatakan batas pusat) bahwa nilainya menjadi mana adalah standar deviasi. Apakah adil untuk mengatakan bahwa batas pusat menyiratkan hukum jumlah besar?
- Apakah teorema limit pusat berlaku untuk kombinasi linear variabel?
Jawaban:
OP mengatakan
Saya akan menganggap ini sebagai keyakinan OP bahwa untuk variabel acak iidXi dengan mean μ dan deviasi standar σ , fungsi distribusi kumulatif FZn(a) dari
bertemu dengan fungsi distribusi kumulatifN(μ,σ), variabel acak normal dengan rata-rataμdan simpangan bakuσ. Atau, OP percaya bahwa pengaturan ulang kecil formula ini, misalnya distribusiZn-μmenyatu dengan distribusiN(0,σ), atau distribusi(Zn-μ)/σ
OP melanjutkan dengan mengatakan
Hukum lemah dalam jumlah besar mengatakan bahwa untuk variabel acak iid dengan rerata terbatas μ , diberikan ϵ > 0 , P { | Z n - μ | > ϵ } → 0 sebagai n → ∞ . Perhatikan bahwa tidak perlu mengasumsikan bahwa standar deviasi terbatas.Xi μ ϵ>0
Jadi, untuk menjawab pertanyaan OP,
Teorema batas pusat sebagaimana dinyatakan oleh OP tidak menyiratkan hukum lemah jumlah besar. Sebagai , versi OP dari teorema limit pusat mengatakan bahwa P { | Z n - μ | > σ } → 0,317 ⋯ sedangkan hukum yang lemah mengatakan bahwa P { | Z n - μ | > σ } → 0n→∞ P{|Zn−μ|>σ}→0.317⋯ P{|Zn−μ|>σ}→0
Dari pernyataan yang benar dari teorema limit pusat, kita dapat menyimpulkan hanya bentuk terbatas dari hukum lemah sejumlah besar yang berlaku untuk variabel acak dengan mean terbatas dan standar deviasi. Tetapi hukum lemah jumlah besar juga berlaku untuk variabel acak seperti variabel acak Pareto dengan sarana terbatas tetapi deviasi standar tak terbatas.
Saya tidak mengerti mengapa mengatakan bahwa mean sampel konvergen ke variabel acak normal dengan standar deviasi bukan nol adalah pernyataan yang lebih kuat daripada mengatakan bahwa mean sampel konvergen ke mean populasi, yang merupakan konstanta (atau variabel acak dengan nol standar deviasi jika kamu suka).
sumber
sumber
In other words, a linear combination of random variables wont converge to a linear combination of normals under the CLT, just one normal. This makes sense because a linear combination of random variables is just a different random variable that CLT can be applied to directly.
sumber