Misalkan terdistribusi secara seragam pada . Mari dan . Tunjukkan bahwa korelasi antara dan adalah nol.
Sepertinya saya perlu mengetahui standar deviasi sinus dan kosinus, dan kovarian mereka. Bagaimana saya bisa menghitung ini?
Saya pikir saya perlu mengasumsikan memiliki distribusi seragam, dan tampilan pada variabel yang diubah dan . Maka hukum ahli statistik yang tidak sadar akan memberikan nilai yang diharapkan
(Kepadatannya konstan karena ini adalah distribusi yang seragam, dan dengan demikian dapat dipindahkan keluar dari integral).
Namun, mereka integral tidak didefinisikan (tetapi memiliki nilai-nilai pokok Cauchy dari nol saya pikir).
Bagaimana saya bisa menyelesaikan masalah ini? Saya rasa saya tahu solusinya (korelasi adalah nol karena sinus dan cosinus memiliki fase yang berlawanan) tetapi saya tidak dapat menemukan cara untuk mendapatkannya.
Jawaban:
Sejak
korelasinya juga harus 0.
sumber
Saya sangat suka argumen @ whuber dari simetri dan tidak ingin itu hilang sebagai komentar, jadi inilah sedikit penjelasan.
Pertimbangkan vektor acak , di mana , dan , untuk . Kemudian, karena parameter parameter lingkaran satuan dengan panjang busur, didistribusikan secara seragam pada lingkaran satuan. Secara khusus, distribusi sama dengan distribusi . Tapi kemudian(X,Y) X=cos(U) Y=sin(U) U∼U(0,2π) θ↦(cos(θ),sin(θ)) (X,Y) (−X,Y) (X,Y)
jadi itu harus .Cov(X,Y)=0
Hanya argumen geometris yang indah.
sumber