Apakah jumlah dan produk dari dua matriks kovarians juga merupakan matriks kovarians?

Misalkan saya memiliki kovarians matriks dan Y . Manakah dari opsi ini yang kemudian juga merupakan matriks kovarian?$X$$Y$

1. $X+Y$
2. $X^2$
3. $XY$

---

Saya memiliki sedikit kesulitan memahami apa yang sebenarnya dibutuhkan untuk sesuatu menjadi matriks kovarians. Saya kira itu dimaksudkan bahwa misalnya jika , dan Y = cov ( Y 1 , Y 2 ) bahwa untuk 1 tetap benar kita harus memiliki cov itu ( X 1 , X 2 ) + cov ( Y 1 , Y 2 ) = cov ( Z 1$X=\operatorname{cov}(X_1,X_2)$$Y=\operatorname{cov}(Y_1,Y_2)$ , di mana Z 1 dan Z 2 adalah beberapa variabel acak lainnya. Namun, saya tidak bisa melihat mengapa itu berlaku untuk salah satu dari tiga opsi ini. Wawasan apa pun akan apprciated.$\operatorname{cov}(X_1,X_2) + \operatorname{cov}(Y_1,Y_2) = \operatorname{cov}(Z_1, Z_2)$$Z_1$$Z_2$

Latar Belakang

$\mathbb{A}$$X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)^\prime$$\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

$$\operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.\tag{1}$$

Dengan kata lain, aturan multiplikasi matriks menggambarkan aturan varians.

$\mathbb{A}$

1. $\lambda$

   $$0 \le \operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.$$

2. $1\times 1$$(1)$

   $$\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime = \operatorname{Var}(\lambda X) = \operatorname{Var}(\lambda X) ^\prime = \left(\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime\right)^\prime = \lambda \mathbb{A}^\prime \lambda ^\prime.$$ $\lambda$$\mathbb{A}$$\mathbb{A}^\prime$

$\mathbb{A}$$X$$\mathbb{A}$$X$$f(x_1,\ldots, x_n)$

$$\log(f) \propto -\frac{1}{2} (x_1,\ldots,x_n)\mathbb{A}^{-1}(x_1,\ldots,x_n)^\prime$$ $\mathbb{A}$$\mathbb{A}$

Solusi

$\mathbb{X}$$\mathbb{Y}$

1. Jumlah.

   • $$(\mathbb{X}+\mathbb{Y})^\prime = \mathbb{X}^\prime + \mathbb{Y}^\prime = (\mathbb{X} + \mathbb{Y})$$
   • $\lambda$ $$\lambda(\mathbb{X}+\mathbb{Y})\lambda^\prime = \lambda \mathbb{X}\lambda^\prime + \lambda \mathbb{Y}\lambda^\prime \ge 0 + 0 = 0$$

2. Saya meninggalkan ini sebagai latihan.

3. $2\times 2$

   $$\pmatrix{a & b \\ b & a}$$ $a^2 \ge b^2$$a \ge 0$$\mathbb{XY}$ $$\mathbb{X} = \pmatrix{a & -1 \\ -1 & a}$$ $a \ge 1$$\mathbb{Y}$ $$\mathbb{Y} = \pmatrix{b & 0 \\ 0 & 1}$$ $b\ge 0$$-1$$1$

   $\mathbb{XY}$$a$$b$

Matriks nyata adalah matriks kovarians jika dan hanya jika semi-pasti simetris positif.

Petunjuk:

$X$$Y$$X+Y$$z^TX z \ge 0$$z$$z^TY z \ge 0$$z$$z^T(X+Y)z$

$X$$X^2$$X$$X^2$

$X$$Y$$XY$