Penduga parameter poisson yang tidak sesuai

Jumlah kecelakaan per hari adalah variabel acak Poisson dengan parameter , pada 10 hari yang dipilih secara acak jumlah kecelakaan diamati sebagai 1,0,1,1,2,0,2,0,0,1, apa yang akan menjadi penaksir yang tidak bias dari ?e $\lambda$$e^{\lambda}$

Saya mencoba mencoba dengan cara ini: Kita tahu bahwa , tetapi . Lalu apa yang akan menjadi penaksir tidak bias yang diperlukan?E ( e ˉ x ) ≠ e $E(\bar{x})=\lambda=0.8$$E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

Jika , maka, untuk . Sulit untuk dihitungP $X\sim \text{Pois}(\lambda)$k ≥ $P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$$k\geq 0$

E [ X n _ ] X n _ = X ( X - 1 ) ⋯ ( X - n + 1 ) E [ X n _ ] = λ n . X 1 , ⋯ , X N

$$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$$ tetapi jauh lebih mudah untuk menghitung , di mana : Anda dapat membuktikan ini sendiri - ini adalah latihan yang mudah. Juga, saya akan membiarkan Anda membuktikan sendiri sebagai berikut: Jika iid sebagai , maka , maka Biarkan . Karena itu$E[X^{\underline{n}}]$$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$ $$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$$ $X_1,\cdots, X_N$U = ∑ i X i ∼ Pois ( N λ ) E [ U n _ ] = ( N λ ) n = N n λ $\text{Pois}(\lambda)$$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$Z n = U n _ / N $$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$$ $Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

• X 1 ... X $Z_n$ adalah fungsi pengukuran Anda , ,$X_1$$\dots$$X_N$
• $E[Z_n] = \lambda^n$ ,

Karena, kita dapat menyimpulkan itu$e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$

W=βn≥

$$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$$ karenanya, estimator Anda yang tidak bias adalah, yaitu, . Namun, untuk menghitung , salah satu harus mengevaluasi jumlah yang tampaknya tak terbatas, tetapi catatan bahwa , maka untuk . Maka untuk , maka jumlahnya terbatas.E [ W ] = e λ W U ∈ N 0 U n _ = $W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$$E[W] = e^\lambda$$W$$U\in \mathbb{N}_0$$U^\underline{n} = 0$Z n = 0 n > $n>U$$Z_n = 0$$n>U$

---

Kita dapat melihat bahwa dengan menggunakan metode ini, Anda dapat menemukan estimator yang tidak bias untuk setiap fungsi yang dapat dinyatakan sebagai .f ( λ ) = β n ≥ 0 a n λ $\lambda$$f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$

Maka . Kami ingin memperkirakan . Seperti yang Anda katakan, penduga yang mungkin adalah Menggunakan fungsi pembangkit momen , kita temukan bahwa jadi bias. Beberapa dugaan menyarankan bahwa $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$$\theta=e^\lambda$θ = e ˉ

$$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$$ $Y$ $$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$$ $$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$$ $\hat\theta$ $$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$$ mungkin tidak bias untuk pilihan faktor koreksi yang sesuai . Sekali lagi, menggunakan mgf kita menemukan bahwa jadi ini tidak bias jika yang mengarah ke dan sebagai estimator yang tidak bias dari .$a$$Y$ $$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$$ $10(e^a - 1) = 1$$a=\ln\frac{11}{10}$$\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$$\theta=e^\lambda$

Oleh teorema Lehmann-Scheffé , karena adalah statistik yang cukup untuk , estimator (fungsi ) adalah UMVUE untuk .$Y$$\lambda$$\theta^*$$Y$e λ$e^\lambda$