Saya sedang mempelajari catatan kuliah Larry Wasserman tentang Statistik yang menggunakan Casella dan Berger sebagai teks utamanya. Saya sedang mengerjakan catatan kuliahnya set 2 dan terjebak dalam derivasi lemma yang digunakan dalam ketidaksetaraan Hoeffding (hal.2-3). Saya mereproduksi bukti dalam catatan di bawah ini dan setelah bukti saya akan menunjukkan di mana saya terjebak.
Kata pengantar singkat
Misalkan dan . Kemudian .
Bukti
Karena , kita dapat menulis sebagai kombinasi cembung dari dan , yaitu mana . Dengan cembung dari fungsi kita miliki
Ambil harapan dari kedua belah pihak dan gunakan fakta untuk mendapatkan
di mana , dan . Perhatikan bahwa . Juga untuk semua u> 0 .
Dengan teorema Taylor, ada sedemikian sehingga
Karenanya .
Saya bisa mengikuti buktinya sampai
tetapi saya tidak dapat menemukan cara menurunkan .
Jawaban:
Saya tidak yakin saya memahami pertanyaan Anda dengan benar. Saya akan mencoba menjawab: coba tulis sebagai fungsi : this adalah alami karena Anda ingin terikat dalam .
Dengan dibantu oleh pengalaman, Anda akan tahu bahwa lebih baik memilih untuk menuliskannya dalam bentuk . Kemudian mengarah ke dengan .eg(u)
Apakah itu jenis hal yang Anda minta?
Sunting: beberapa komentar tentang buktinya
Sekarang giliran masalah kita. Mengapa mungkin untuk mendapatkan ikatan hanya bergantung pada ? Secara intuitif, ini hanya masalah : jika Anda memiliki batas untuk kasus , maka batas umum dapat diperoleh dengan mengambil . Sekarang pikirkan kumpulan variabel terpusat dengan dukungan lebar 1: tidak ada begitu banyak kebebasan, jadi batas seperti harus ada. Pendekatan lain adalah dengan mengatakan bahwa dengan lemma di atas pada , maka lebih umum , yang hanya bergantung pada danu=t(b−a) X E(etX)≤s(t) b−a=1 s(t(b−a)) s(t)
E(ϕ(X)) E(ϕ(tX))≤E(ϕ(tX0)) u γ : jika Anda memperbaiki dan , dan biarkan bervariasi, hanya ada satu derajat kebebasan, dan , , . Kita mendapatkan
Anda hanya perlu menemukan ikatan yang hanya melibatkan .u=u0=t0(b0−a0) γ=γ0=−a0b0−a0 t,a,b t=t0α a=αa0 b=αa0
Sekarang kami yakin itu bisa dilakukan, itu pasti jauh lebih mudah! Anda tidak perlu berpikir untuk untuk memulai. Intinya adalah bahwa Anda harus menulis semuanya sebagai fungsi dari dan . Perhatikan pertama bahwa , , dan . Kemudian Sekarang kita berada dalam kasus khusus ... I pikir kamu bisa menyelesaikannya.g u γ
γ=−ab−a 1−γ=bb−a at=−γu bt=(1−γ)u
Saya harap saya mengklarifikasi sedikit.
sumber