Jika matriks kovarians terbalik jarang, apa yang bisa saya katakan tentang matriks kovarians?

Bagaimana kondisi sparsity pada matriks kovarians terbalik mempengaruhi matriks kovarians sebenarnya?

Seperti yang sudah dikomentari oleh Yair, tidak ada kondisi sparsity spesifik dari matriks kovarians terbalik yang mempengaruhi matriks kovarians aktual atau sebaliknya. Apa pun selain pola matriks sparsity sepele (mis. Diagonal) tidak memiliki jaminan bahwa mereka akan tercermin pada matriks tertentu dan kebalikannya. Bahkan matriks tridiagonal dapat dengan mudah memiliki inversi yang jarang.

Untuk kasus-kasus tertentu di mana sparsity dari matriks terjadi di blok Anda mungkin dapat memperoleh beberapa hasil yang berasal dari algoritma pseudoinverse matriks blok yang menyatakan bahwa:

$\left[\begin{array}{cc} A & B \\C & D \end{array}\right]^{-1} =\begin{bmatrix} (A - BD^{-1}C)^{-1} & -A^{-1}B(D - CA^{-1}B)^{-1} \\ -D^{-1}C(A - BD^{-1}C)^{-1} & (D - CA^{-1}B)^{-1} \end{bmatrix}$

tapi itu mungkin tentang hal itu (murni anekdot, saya telah mencoba untuk memaksakan pola sparsity melalui dekomposisi Cholesky dari sebuah matriks PSD tetapi saya gagal dalam percobaan coba-coba saya yang salah). Anda mungkin juga ingin mempertimbangkan melihat ke dalam algoritma Cuthill-McKee (CM) jika Anda mengharapkan beberapa fitur adjacency tercermin dalam matriks kovarians. Algoritma CM memungkinkan matriks sparse yang memiliki pola sparsity simetris ke dalam bentuk matriks band dengan bandwidth kecil, ini mungkin membantu mempertahankan beberapa sparsitas terhadap entri off-diagonal dari matriks invers tetapi itu tidak dijamin. (Menerapkan CM - jika masuk akal - dapat sangat membantu untuk aplikasi tertentu (misalnya dalam rutinitas perataan 2D) dan secara signifikan dapat mempercepat perhitungan Anda.)