Diberikan kemungkinan Gaussian untuk sampel seperti dengan sebagai ruang parameter dan , parameterisasi acak dari vektor rata-rata dan matriks kovarians.
Apakah mungkin untuk menentukan kepadatan sebelumnya dan parameterisasi vektor rata-rata dan matriks kovarians sedemikian rupa sehingga kemungkinan marginal adalah kemungkinan Gaussian?
Saya kira tidak termasuk solusi sepele yang diketahui kovarians, yaitu , di mana adalah matriks kovarians tetap yang berubah-ubah, ini tidak mungkin.
Untuk kasus khusus dan , yaitu adalah satu dimensi, dan , di mana menunjukkan kepadatan seragam yang dapat saya perlihatkan:
Jawaban yang diterima berisi bukti formal atau informal atau petunjuk untuk itu.
sumber
Asumsikan dan adalah apriori independen dan bahwa memiliki margin normal dengan mean dan varians . Saya akan membuktikan bahwa varians harus konstan, dan mean harus memiliki sebelumnya yang normal (mungkin merosot).μ Σ y μ0 Σ0 Σ μ
Saya akan menempel pada kasus satu dimensi untuk kesederhanaan, menggunakan fungsi karakteristik (cf) dari , yaitu . Kita tahu bahwa } dan rumus yang sama berlaku untuk distribusi bersyarat pada dan , yang normal dengan asumsi. Jadi untuk setiap dan dengan mengatur ulang integral, kita harus memilikiy ϕy(t):=E[eyit] ϕy(t)=exp{μ0it−Σ0t2/2 y μ Σ t
Integral pertama di sisi kanan, katakanlahϕ1(t) , adalah cf dari
μ . Perhatikan sejak ituϕ1(t)e−μ0it ditemukan nyata, kita melihat bahwa distribusi μ adalah WRT simetris μ0 , dan karenanya
E[μ]=μ0 , seperti yang mungkin telah diantisipasi.
Sekarang ternyata integral kedua di sisi kanan, katakanlahϕ2(t) , juga cf. Untuk melihat itu, kita harus memeriksanya ϕ2(0)=1 itu ϕ2 kontinu di t=0 dan juga fungsinya
ϕ2 pasti positif (pd). Persyaratan pertama jelas, yang kedua dibuktikan dengan dominasi konvergensi. Sekarang beralih ke persyaratan pd: jika distribusi sebelumnya ditulis sebagai
p(Σ)dΣ adalah massa Dirac, lalu ϕ2 adalah pd karena ϕ2 kemudian cf dari distribusi normal. Jika sebelumnya adalah campuran terpisah dari massa Dirac, ini benar juga sejak ituϕ2 maka cf dari campuran normals. Dengan argumen kontinuitas, kita melihat ituϕ2 adalah pd
Sekarang mari kita gunakan teorema Lévy-Cramér yang kuat yang mengatakan bahwa keduanya berfungsiϕj untuk j=1 , 2 harus mengambil formulir exp{ajit−bjt2/2} dengan aj nyata dan bj≥0 . Begituμ
harus normal (mungkin berdegenerasi) dengan rata-rata a1=μ0 . Dengan aljabar sederhana yang kita miliki
sumber
Saya punya proposisi bukti untuk Anda, tetapi Anda perlu memeriksanya.
Asumsikan bahwa kemungkinan marginal adalah Gaussian:
maka kepadatan sebelumnya dapat ditentukan oleh
dimanaf memeriksa ∫θ∈Θf(θ)dθ=1 dan f(θ)≥0 untuk θ∈Θ . (f(θ) adalah p(θ|y) ).
Untuk menjadi kepadatan, integral dari kepadatan sebelumnyap(θ) di Θ harus sama dengan 1. Dengan kata lain,
Itu mengarah ke
Kesetaraan ini berlaku jika dan hanya jikaμ(θ)=m dan Σ(θ)=Γ .
sumber