Distribusi rasio antara dua variabel acak seragam independen

17

Misalkan dan adalah standar yang terdistribusi secara seragam dalam , dan mereka independen, berapakah PDF dari ? $X$ $Y$ $[0, 1]$ $Z = Y / X$

Jawaban dari beberapa buku teks teori probabilitas adalah

f_{Z} (z) = {\begin{cases} 1 / 2, & if 0 \leq z \leq 1 \\ 1 / (2 z^{2}), & if z > 1 \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$f_Z(z) = \begin{cases} 1/2, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ 1/(2z^2), & \text{if } z > 1 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

Saya bertanya-tanya, apakah simetri, bukankah seharusnya ? Ini bukan kasusnya menurut PDF di atas. $f_Z(1/2) = f_Z(2)$

probability derived-distributions qed
sumber

Apa domain

X

$X$ dan

Y

$Y$ ?

Sobi

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

kjetil b halvorsen

2

Mengapa Anda berharap ini benar? Fungsi kepadatan memberitahu Anda bagaimana padat probabilitas adalah di lingkungan titik, dan itu jelas lebih sulit bagi

Z

$Z$ untuk berada di dekat

2

$2$ dari

1 / 2

$1/2$ (mempertimbangkan misalnya bahwa

Z

$Z$ selalu dapat

1 / 2

$1/2$ tidak peduli apa

X

$X$ , tapi

Z < 2

$Z < 2$ ketika

X > 1 / 2

$X > 1/2$ ).

dsaxton

2

Kemungkinan rangkap dari Distribusi rasio seragam: Apa yang salah?

Xi'an

3

Saya tidak berpikir itu duplikat, pertanyaan itu mencari PDF, di sini saya punya PDF, saya hanya mempertanyakan kebenarannya (mungkin agak naif).

qed

19

Logika yang benar adalah bahwa dengan independen $X, Y \sim U(0,1)$ , $Z=\frac YX$ dan $Z^{-1} =\frac XY$ memilikidistribusi yangsamadan untuk $0 < z < 1$

\begin{aligned} P {\frac{Y}{X} \leq z} & = P {\frac{X}{Y} \leq z} \\ = P {\frac{Y}{X} \geq \frac{1}{z}} \\ F_{Z} (z) & = 1 - F_{Z} (\frac{1}{z}) \end{aligned}

$\begin{align} P\left\{\frac YX \leq z\right\} &= P\left\{\frac XY \leq z\right\}\\ &= P\left\{\frac YX \geq \frac 1z \right\}\\ \left.\left.F_{Z}\right(z\right) &= 1 - F_{Z}\left(\frac 1z\right) \end{align}$ mana persamaan dengan CDF menggunakan fakta bahwa

\frac{Y}{X}

$\frac YX$ adalah variabel acak kontinu sehingga

P {Z \geq a} = P {Z > a} = 1 - F_{Z} (a)

$P\{Z \geq a\} = P\{Z > a\} = 1-F_Z(a)$ . Karenanya pdf dari

Z

$Z$ memenuhi

Jadi

f_{Z} (z) = z^{- 2} f_{Z} (z^{- 1}), 0 < z < 1.

$f_Z(z) = z^{-2}f_Z(z^{-1}), \quad 0 < z < 1.$

, dan bukan

f_{Z} (\frac{1}{2}) = 4 f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = 4f_Z(2)$

seperti yang Anda pikir seharusnya.

f_{Z} (\frac{1}{2}) = f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = f_Z(2)$

Dilip Sarwate
sumber

14

Distribusi ini simetris - jika Anda melihatnya dengan cara yang benar.

Simetri yang telah Anda amati (dengan benar) adalah bahwa dan harus didistribusikan secara identik. Ketika bekerja dengan rasio dan kekuatan, Anda benar-benar bekerja dalam kelompok multiplikasi angka nyata positif. Analog dari ukuran invarian lokasi pada bilangan real aditif adalah ukuran invarian skala $Y/X$ $X/Y = 1/(Y/X)$ $d\lambda=dx$ $\mathbb{R}$ $d\mu = dx/x$ pada kelompok multiplikasi dari bilangan real positif. Ini memiliki sifat-sifat yang diinginkan: $\mathbb{R}^{*}$

invarian di bawah transformasi untuk konstanta positif : $d\mu$ $x\to ax$ $a$
$d μ (a x) = \frac{d (a x)}{a x} = \frac{d x}{x} = d μ .$ $d\mu(ax) = \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} = d\mu.$
adalah kovarian di bawah transformasi untuk bilangan nol : $d\mu$ $x\to x^b$ $b$
$d μ (x^{b}) = \frac{d (x^{b})}{x^{b}} = \frac{b x^{b - 1} d x}{x^{b}} = b \frac{d x}{x} = b d μ .$ $d\mu(x^b) = \frac{d(x^b)}{x^b} = \frac{b x^{b-1} dx}{x^b} = b\frac{dx}{x} = b\, d\mu.$
ditransformasikan menjadi melalui eksponensial: $d\mu$ $d\lambda$ Demikian juga,ditransformasikan kembali kemelalui logaritma.
$d μ (e^{x}) = \frac{d e^{x}}{e^{x}} = \frac{e^{x} d x}{e^{x}} = d x = d λ .$ $d\mu(e^x) = \frac{de^x}{e^x} = \frac{e^x dx}{e^x} = dx = d\lambda.$ $d\lambda$ $d\mu$

(3) membentuk isomorfisme antara kelompok yang diukur dan . Refleksi pada ruang aditif sesuai dengan inversi pada ruang multiplikasi, karena . $(\mathbb{R}, +, d\lambda)$ $(\mathbb{R}^{*}, *, d\mu)$ $x \to -x$ $x \to 1/x$ $e^{-x} = 1/e^x$

Mari kita terapkan pengamatan ini dengan menulis elemen probabilitas dalam hal (memahami secara implisit bahwa ) daripada : $Z=Y/X$ $d\mu$ $z \gt 0$ $d\lambda$

f_{Z} (z) d z = g_{Z} (z) d μ = \frac{1}{2} {\begin{cases} 1 d z = z d μ, & if 0 \leq z \leq 1 \\ \frac{1}{z^{2}} d z = \frac{1}{z} d μ, & if z > 1. \end{cases}

$f_Z(z)\,dz = g_Z(z)\,d\mu = \frac{1}{2}\begin{cases} 1\,dz = z\, d\mu, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ \frac{1}{z^2}dz = \frac{1}{z}\, d\mu, & \text{if } z > 1. \end{cases}$

Yaitu, PDF sehubungan dengan ukuran invarian $d\mu$ adalah , sebanding dengan ketika dan ketika , dekat dengan apa yang Anda harapkan. $g_Z(z)$ $z$ $0\lt z \le 1$ $1/z$ $1 \le z$

Ini bukan hanya trik satu kali. Memahami peran membuat banyak formula terlihat lebih sederhana dan lebih alami. Sebagai contoh, elemen probabilitas fungsi Gamma dengan parameter , $d\mu$ $k$ menjadi . Lebih mudah untuk bekerja dengan daripada dengan ketika mentransformasikan denganmengubahskala, mengambil kekuatan, atau secara eksponensial. $x^{k-1}e^x\,dx$ $x^k e^x d\mu$ $d\mu$ $d\lambda$ $x$

Gagasan tentang ukuran invarian pada suatu kelompok juga jauh lebih umum, dan memiliki aplikasi dalam bidang statistik tersebut di mana masalah menunjukkan beberapa invarian di bawah kelompok transformasi (seperti perubahan satuan ukuran, rotasi dalam dimensi yang lebih tinggi, dan sebagainya. ).

whuber
sumber

3

Sepertinya jawaban yang sangat berwawasan. Sayang sekali aku tidak memahaminya saat ini. Saya akan periksa kembali nanti.

qed

4

Jika Anda berpikir secara geometris ...

Dalam bidang - , kurva konstanta adalah garis melalui titik asal. ( adalah kemiringan.) Seseorang dapat membaca nilai dari garis melalui titik asal dengan menemukan persimpangannya dengan garis . (Jika Anda pernah mempelajari ruang proyektif: di sini adalah variabel homogenisasi, jadi melihat nilai pada slice adalah hal yang relatif wajar untuk dilakukan.) $X$ $Y$ $Z = Y/X$ $Y/X$ $Z$ $X=1$ $X$ $X=1$

Pertimbangkan interval kecil s, . Interval ini juga dapat didiskusikan pada garis sebagai segmen garis dari hingga . Himpunan garis melalui titik asal melewati interval ini membentuk segitiga padat di bujur sangkar $Z$ $(a,b)$ $X=1$ $(1,a)$ $(1,b)$ $(X,Y) \in U = [0,1]\times[0,1]$ , yang merupakan wilayah tempat kami tertarik. Jika , maka luas segitiga adalah $0 \leq a < b \leq 1$ , sehingga menjaga panjang interval konstan dan menggesernya ke atas dan ke bawah garis(tetapi tidak melewatiatau), area tersebut sama, sehingga probabilitas memilihdalam segitiga adalah konstan, sehingga probabilitas memilihdalam interval adalah konstan. $\frac{1}{2}(1-0)(b-a)$ $X=1$ $0$ $1$ $(X,Y)$ $Z$

$b>1$ $U$ $X = 1$ $1 \leq a < b$ $(1,a)$ $(1,b)$ $U$ $(1/a,1)$ $(1/b,1)$ $\frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(1-0)$ $(a,b)$

Then the same algebra demonstrated in other answers finishes the problem. In particular, returning to the OP's last question, $f_Z(1/2)$ corresponds to a line that reaches $X=1$ , but $f_Z(2)$ does not, so the desired symmetry does not hold.

Eric Towers
sumber

3

Just for the record, my intuition was totally wrong. We are talking about density, not probability. The right logic is to check that

\int_{1}^{k} f_{Z} (z) d z = \int_{1 / k}^{1} f_{Z} (z) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{k})

$\int_1^k f_Z(z) dz = \int_{1/k}^1 f_Z(z) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{k})$ ,

and this is indeed the case.

qed
sumber

1

Yea the link Distribution of a ratio of uniforms: What is wrong? provides CDF of $Z=Y/X$ . The PDF here is just derivative of the CDF. So the formula is correct. I think your problem lies in the assumption that you think Z is "symmetric" around 1. However this is not true. Intuitively Z should be a skewed distribution, for example it is useful to think when Y is a fixed number between $(0,1)$ and X is a number close to 0, thus the ratio would be going to infinity. So the symmetry of distribution is not true. I hope this help a bit.

lzstat
sumber

Distribusi rasio antara dua variabel acak seragam independen

Jawaban: