Distribusi rasio seragam: Apa yang salah?

8

Misalkan dan adalah dua variabel acak seragam iid pada intervalXY[0,1]

Misalkan , saya menemukan cdf dari , yaitu .Z=X/YZPr(Zz)

Sekarang, saya menemukan dua cara untuk melakukan ini. Yang satu menghasilkan jawaban yang benar sesuai dengan pdf di sini: http://mathworld.wolfram.com/UniformRatioDistribution.html , yang lain tidak. Mengapa metode kedua salah?

Metode pertama

Pr(Zz)=Pr(X/Yz)=Pr(XzY)=010min(1,zy)dxdy=01min(1,zy) dy ={01/zzy dy+1/z1dy:z>101zy dy:z1 ={112z:z>1z2:z1

Tampaknya ini benar.

Metode Kedua

Pr(X/Yz)=Pr(XzY | zY1)Pr(zY1)+Pr(XzY | zY<1)Pr(zY<1) dengan probabilitas total

=Pr(XzY | zY1)Pr(Y1/z)+Pr(XzY | zY<1)Pr(Y<1/z)

Mengambil hasil z>1(1)(11z)+(01/z0zydxdy)(1z)=11z+(01/zzy dy)(1z)=11z+12z2

Ini sudah berbeda. Kenapa ini salah?

Terima kasih!

Junier
sumber

Jawaban:

10

Ini sebuah petunjuk .

Pertimbangkan baik-baik istilah . Secara khusus, untuk konkret, pilih , sehingga kami mempertimbangkan event .P(XzYzY<1)z=2P(X2YY<1/2)

Sekarang, lihat gambar ini (yang sangat erat kaitannya dengan probabilitas di atas).

Plot probabilitas bersyarat untuk rasio seragam

Sekarang, apakah probabilitas bersyarat itu bergantung pada pilihan tertentu kita ?z

kardinal
sumber
Saya kira deskripsi gambar yang lebih formal adalah: Misalkan kita dapat melihat bahwa pdf untuk adalah jadi Tapi saya masih tidak mengerti mengapa pengaturan integral seperti yang saya lakukan sebelumnya tidak berfungsi. Bahkan jika nilai z tidak memainkan peran nyata, mengapa menetapkan batas integral x ke zy dan kemudian menetapkan batas integral y ke 1 / z tidak memperbaikinya? R=zYR1/zPr(XRR<1)=010r1/z dx dr=12z
Junier
Ah, ok saya pikir mungkin saya mengerti. Jadi kita akan memiliki wilayah yang dikontrak ini {(x, y): y <1 / z} pada unit square, maka kita akan memperluas wilayah tersebut dengan z jadi {(x, y): y <z / z}. Yaitu semua unit lagi. Wilayah di mana x <y adalah 1/2. Tetapi bagaimana kita memformalkan intuisi ini secara matematis; yaitu mengikuti kontrak ini, perluas rute secara formal? Dan apa saja tip untuk menghindari kesalahan seperti ini?
Junier
2
@Junier Menggambar gambar sering membantu :-).
whuber
+1 @whuber. Jika ragu, buatlah gambar. Ini sepertinya selalu mengklarifikasi masalah yang saya alami.
Fomite
2
Tergantung pada seberapa formal Anda ingin memformalkan ini secara matematis. Perhatikan pertama bahwa adalah probabilitas gabungan , bukan probabilitas bersyarat yang Anda coba hitung. Ini adalah kesalahan yang cukup umum. Perhatikan bahwa membagi apa yang Anda miliki dengan memulihkan jawaban yang benar. (Ini hanya aturan Bayes.)01/z0zydxdyP(0XzY,0Y1/z)P(0Y1/z)=1/z
kardinal