Misalkan dan adalah dua variabel acak seragam iid pada intervalXY[0,1]
Misalkan , saya menemukan cdf dari , yaitu .Z=X/YZPr(Z≤z)
Sekarang, saya menemukan dua cara untuk melakukan ini. Yang satu menghasilkan jawaban yang benar sesuai dengan pdf di sini: http://mathworld.wolfram.com/UniformRatioDistribution.html , yang lain tidak. Mengapa metode kedua salah?
Metode pertama
Pr(Z≤z)=Pr(X/Y≤z)=Pr(X≤zY)=∫10∫min(1,zy)0dxdy=∫10min(1,zy) dy
=⎧⎩⎨∫1/z0zy dy+∫11/zdy∫10zy dy:z>1:z≤1
={1−12zz2:z>1:z≤1
Tampaknya ini benar.
Metode Kedua
Pr(X/Y≤z)=Pr(X≤zY | zY≥1)Pr(zY≥1)+Pr(X≤zY | zY<1)Pr(zY<1) dengan probabilitas total
=Pr(X≤zY | zY≥1)Pr(Y≥1/z)+Pr(X≤zY | zY<1)Pr(Y<1/z)
Mengambil hasil
z>1(1)(1−1z)+(∫1/z0∫zy0dxdy)(1z)=1−1z+(∫1/z0zy dy)(1z)=1−1z+12z2
Ini sudah berbeda. Kenapa ini salah?
Terima kasih!