Mengapa saya tidak bisa menghitung 1,5 standar deviasi menggunakan matematika dasar?

Saya tidak mengerti mengapa saya tidak bisa menambahkan 1,5 standar deviasi untuk mendapatkan jawabannya.

Jika 1 standar deviasi adalah 10kg dan rata-rata 400kg, maka 415kg adalah 1,5 standar deviasi.

Jadi saya hitung seperti ini: .3413 + ((.4772-.3413)/2) = 0.40925

Persamaan ini mengambil setengah dari perbedaan antara dua standar deviasi dan satu standar deviasi, kemudian menambahkannya ke standar deviasi pertama.

Mengapa ini tidak berhasil? Mengapa saya harus menggunakan tabel yang disediakan?

Alasan bahwa kita tidak dapat (secara linear) menginterpolasi antara 0,3413 dan 0,4772 adalah karena pdf dari distribusi Normal tidak seragam (datar pada nilai tunggal).

Perhatikan contoh yang lebih sederhana ini, di mana kita dapat menggunakan geometri untuk menemukan area.

Luas total plot adalah 1(ini adalah potongan persegi secara diagonal, dengan dua potongan disusun ulang menjadi segitiga). Dengan menggunakan Base*Height/2kita dapat menemukan bahwa luas wilayah A adalah 0.5, dan total luas wilayah B dan C juga 0.5.

Tetapi area B dan C tidak sama. Luas wilayah C adalah 0.5*0.5/2 = 0.125, dan karenanya wilayah wilayah B adalah 0.375. Jadi meskipun daerah B dan C sama-sama lebar di sepanjang sumbu x, karena ketinggiannya tidak konstan, mereka memiliki daerah yang berbeda.

Distribusi normal yang Anda hadapi dalam latihan Anda serupa, tetapi dengan fungsi yang lebih rumit untuk tinggi daripada segitiga sederhana. Karena itu, area antara dua nilai tidak dapat dipecahkan secara sederhana - maka penggunaan skor-Z dan tabel untuk menemukan probabilitas.

Hanya untuk memberikan ilustrasi berbeda tentang topik yang sama ...

Dalam perhitungan awal Anda, Anda akan memperlakukan kurva normal sebagai distribusi yang seragam, dalam hal ini pendekatan awal Anda akan menjadi perhitungan matematis yang tepat untuk persegi panjang berarsir ganda dalam plot di bawah ini (dengan nilai aktual berbeda), hanya karena Anda akan menjadi dapat mengekspresikan daerah sebagai ketergantungan linear sederhana dari $x$ jarak sumbu:

$A_{1.5\,SD} =\large\frac{A_{2\,SD} - A_{1\,SD}}{2} = \small height * \large\frac{X_{2\,SD} - X_{1\,SD}}{2}$

Tetapi Anda ingin menghitung area yang ditetaskan secara diagonal di bawah kurva distribusi Gaussian, yang seperti yang dinyatakan sebelumnya tidak akan menjaga hubungan linier dengan jarak sepanjang $x$ sumbu bahkan jika distribusinya berbentuk segitiga:

7

Rumus untuk distribusi Gaussian adalah:

Di mana sigma = deviasi std dan mu = mean

(dicuri dari wikipedia)

Saat Anda meminta area, Anda mengintegrasikan fungsi ini pada rentang yang ditentukan. Integral ini tidak memiliki solusi "bentuk tertutup": tidak ada cara untuk menghasilkan ekspresi menggunakan fungsi matematika "normal" seperti faktorial, perkalian, eksponensial, akar, dll. Yang sama dengan integral itu.

Ini seperti fungsi logaritma atau trigonometri: Anda tidak bisa menghasilkan persamaan bentuk tertutup untuk mereka menggunakan fungsi aljabar lainnya (Anda bisa menggunakan deret tak hingga, tapi itu bukan "tertutup"). Jadi, Anda menggunakan tabel (jika Anda merasa retro, atau kalkulator, yang hanya menggunakan tabel untuk Anda di belakang layar yang tertanam dalam prosesornya sebagai titik awal) ketika Anda harus benar-benar menghitungnya.

Bahkan, paralel dengan logaritma cukup tepat: kita juga dapat mendefinisikan logaritma dengan integral, yaitu ln (x) = integral dari (1 / x) dari 0 hingga x.

Secara geometris,, .4772 - .3413mewakili area di bawah grafik antara 1 standar deviasi dan 2 standar deviasi. Jika Anda membagi wilayah ini setengah horizontal, bagian di sebelah kiri split akan menjadi area antara 1 dan 1,5 standar deviasi, seperti yang Anda inginkan. Sejauh ini baik-baik saja.

Namun ketika Anda mengambil (.4772 - .3413) / 2Anda mendapatkan setengah area , tetapi belum tentu apa yang Anda cari, yang bagaimanapun luasnya setengah jalan secara horizontal. Dengan grafik ini, bagian kiri dari perpecahan itu bukan bagian dari area - garisnya miring ke bawah (pergi dari kiri atas ke kanan bawah) sehingga ada lebih banyak ruang di bagian kiri daripada bagian kanan. Jika grafik ini adalah garis horizontal lurus, maka area yang Anda bagikan akan menjadi persegi panjang, dan setengah area tersebut akan benar-benar setengah jalan.