(Referensi) Bagaimana cara mendapatkan model desain eksperimental, bukan hanya menghafalnya?

Di kelas Metode Statistik MS-level yang saya ambil, saya telah belajar tentang berbagai model linier untuk desain eksperimental. Ambil, misalnya, untuk model Rancangan Blok Lengkap Acak (RCBD) acak ( mewakili blok, mewakili perawatan), mewakili efek blok, efek pengobatan (tetap), mengikuti beberapa distribusi .

$$Y_{ij} = \mu + \beta_i + \tau_j + \varepsilon_{ij}\,,$$ $i$$j$$\beta$$\tau$$\varepsilon_{ij}$$\mathcal{N}(0, \sigma^2_{\varepsilon})$

Meski tampak intuitif seperti model ini, saya ingin menggali satu tingkat lebih dalam dan memahami bagaimana model ini diturunkan, bukan hanya menghafal persamaannya.

Pertanyaan: Adakah yang bisa merujuk saya ke sumber yang akan menurunkan persamaan ini untuk RCBD dan model desain eksperimental lainnya?

Diedit karena tanggapan : Alasan mengapa saya menanyakan hal ini adalah karena dalam Jawaban Christansen untuk Pertanyaan Kompleks (lampiran G), ia memperoleh persamaan sampel acak sederhana , persamaan desain acak lengkap dan persamaan desain blok acak lengkap sebagai "perkiraan yang baik untuk model yang lebih tepat berdasarkan pada teori pengacakan." Sebelumnya, dia menyatakan$y_i = \mu + e_i$$y_{ij} = \mu_i + e_{ij}$$y_{ij} = \alpha_i + \beta_j + e_{ij}$

[S] tatistics secara tradisional telah menunjuk teori pengacakan sebagai area statistik nonparametrik. Teori pengacakan juga sangat menarik dalam teori desain eksperimental karena pengacakan telah digunakan untuk membenarkan analisis percobaan yang dirancang.

Jadi, saya kira apa yang sebenarnya saya minta adalah buku tentang teori pengacakan yang mencakup derivasi dari persamaan ini dan yang sejenis, yang terkait dengan desain eksperimental.

Contoh bukti semacam itu (diambil dari Christiansen): misalkan pengamatan diambil secara acak (tanpa penggantian) dari populasi terbatas yang lebih besar (asumsi sampel acak sederhana dibuat dari teori pengacakan). Misalkan elemen populasi adalah . Kita dapat mendefinisikan variabel acak pengambilan sampel elementer untuk dan : Menggunakan sampling acak sederhana tanpa penggantian, $y_i$$s_1, \dots, s_N$$i = 1, \dots, n$$j = 1, \dots, N$

$$\delta^{i}_j = \begin{cases} 1, & y_i = s_j \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}$$ $$\mathbb{E}[\delta^{i}_j] = \mathbb{P}(\delta^{i}_j = 1) = \dfrac{1}{N}$$ $$\mathbb{E}[\delta^{i}_j\delta^{i^{\prime}}_{j^{\prime}}] = \mathbb{P}(\delta^{i}_j\delta^{i^{\prime}}_{j^{\prime}} = 1) = \begin{cases} 1/N & (i, j) = (i^{\prime}, j^{\prime}) \\ 1/[N(N-1)] & i \neq i^{\prime}, j \neq j^{\prime} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$ Jika kita menulis dan , lalu Membiarkan memberikan model linier $\mu = \sum_{j=1}^{N}s_j / N$$\sigma^2 = \sum_{j=1}^{N}(s_j - \mu)^2/N$ $$y_i = \sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_js_j = \mu+\sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_{j}(s_j - \mu)$$ $e_i = \sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_{j}(s_j - \mu)$ $$y_i = \mu + e_i\text{.}$$

Anda meminta derivasi, tetapi saya berpendapat bahwa formula ini tidak dapat diturunkan. Ia berdiri sendiri sebagai penyandian matematis dari dunia luar. Matematika tidak peduli apa "blok" itu, tetapi Anda tahu. Dan jika Anda yakin itu dapat dimodelkan sebagai sumber variasi aditif, maka kemungkinan Anda akan berakhir dengan model linier yang Anda usulkan di atas. Tapi blok bisa berinteraksi dengan perawatan, misalnya, dan kemudian model yang Anda usulkan di atas akan salah. Anda tidak dapat menurunkan apa model yang "benar" untuk dunia.

Anda meminta referensi, dan mungkin tempat yang bagus untuk melihat adalah beberapa tulisan RA Fisher tentang desain eksperimental seperti Desain eksperimen (1960) . Dia bahkan tidak memunculkan model linier, dan malah berfokus pada partisi keluar varians melalui Analisis Varians. Saya ingin tahu apakah Fisher bahkan berpikir dalam hal model linier pada saat ia mempartisi varians dengan cara ini, dan mungkin hal yang paling dekat dengan derivasi adalah menunjukkan kesetaraan Analisis Varians klasik dan linier. model, jika Anda mengambil yang pertama menjadi jelas.