Mengubah Statistik Pesanan

$X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

Saya telah memulai masalah ini dengan mengatur Kemudian akan didistribusikan sebagai dan akan didistribusikan sebagai Kepadatan dapat ditemukan dengan mudah seperti dan $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ $(\frac{z}{a})^{2n}$ $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

Di sinilah saya mengalami kesulitan mengetahui ke mana harus pergi selanjutnya sekarang ini dihitung. Saya pikir itu harus melakukan sesuatu dengan transformasi, tapi saya tidak yakin ...

self-study data-transformation order-statistics Susan
sumber

Tentunya Anda perlu berasumsi bahwa bukan hanya dan iid, tetapi juga tidak tergantung pada . Mengingat itu, apakah Anda berpikir untuk bekerja langsung dengan ?

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X_{i}

$X_i$

Y_{j}

$Y_j$

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$

whuber

@whuber pemikiran saya dari komentar Anda akan mengatur transformasi di mana saya memecahkan kepadatan n * log (Z )?

_{i}

$_i$

Susan

Saya melakukan sedikit pemformatan ulang (terutama mengubah dan menjadi dan ) tetapi jika Anda tidak menyukainya, Anda dapat kembali ke versi sebelumnya (dengan mengklik tautan "diedit <x> lalu" di atas gravatar saya di bagian bawah posting Anda) dan kemudian mengklik tautan "putar kembali" di atas versi Anda sebelumnya.

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

Glen_b -Reinstate Monica

Susan, Anda tampaknya salah mengartikan / salah membaca pertanyaan. Pertanyaannya mencari rasio Penyebut mengacu pada : di mana adalah statistik urutan maksimum s, dan adalah statistik urutan maksimum s. Dengan kata lain, mencari min (maxX, maxY), BUKAN minimum semua dan , sehingga Anda tidak dapat menggunakan trik Z Anda untuk meratakan / menggabungkan semua nilai X dan Y. .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

serigala

Dalam keadaan apa pun, dan sebagai masalah terpisah, tidak ada gunanya (seperti yang telah Anda lakukan) menghitung kepadatan , dan secara terpisah kepadatan , karena statistik urutan berbeda tidak umumnya mandiri. Untuk menemukan rasio , seseorang harus terlebih dahulu menemukan pdf gabungan dari , jika itu masalahnya di tangan (yang bukan).

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

serigala

Jawaban:

Masalah ini dapat diselesaikan dari definisi saja: satu-satunya perhitungan lanjutan adalah integral dari monomial.

Pengamatan awal

Kerja Mari kita dengan variabel dan seluruh: ini tidak mengubah tapi itu membuat IID dengan Uniform distribusi, menghilangkan semua penampilan mengganggu dari dalam perhitungan. Dengan demikian kita dapat mengasumsikan tanpa kehilangan keumuman. $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

Perhatikan bahwa independensi dan distribusi seragamnya menyiratkan bahwa untuk setiap angka yang , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

dengan hasil identik untuk . Untuk referensi di masa mendatang, ini memungkinkan kami untuk menghitung $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

Larutan

Biarkan menjadi bilangan real positif. Untuk menemukan distribusi , gantilah definisi dan sederhanakan ketimpangan yang dihasilkan: $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

Peristiwa ini terbagi menjadi dua kasus yang dapat disetel, tergantung pada apakah atau adalah yang lebih kecil dari keduanya (dan persimpangan mereka, dengan probabilitas nol, dapat diabaikan). Jadi kita hanya perlu menghitung kemungkinan salah satu dari kasus ini (katakanlah di mana adalah yang lebih kecil) dan gandakan. Karena , , memungkinkan kita (setelah membiarkan untuk memainkan peran of ) untuk menerapkan perhitungan di bagian pendahuluan: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

Itulah artinya bagi untuk memiliki distribusi Exp . $Z_n$ $(1)$

whuber
sumber

Saya akan membuat sketsa solusinya, di sini menggunakan sistem aljabar komputer untuk melakukan seluk-beluk ...

Larutan

Jika adalah sampel ukuran pada induk , maka pdf dari sampel maksimum adalah: dan juga untuk . $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

Pendekatan 1: Temukan pdf gabungan dari $(X_{(n)},Y_{(n)})$

Karena dan bersifat independen, pdf gabungan dari 2 sampel maksimum hanyalah produk dari 2 pdf, katakanlah : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

Diberikan . Kemudian, cdf dari adalah adalah: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

di mana saya menggunakan Probfungsi dari paket mathStatica untuk Mathematica untuk mengotomatisasi. Membedakan cdf wrt menghasilkan pdf sebagai standar Eksponensial. $z$ $Z_n$

Pendekatan 2: Statistik pesanan

Kita dapat menggunakan statistik pesanan untuk 'by-pass' mekanisme karena harus berurusan dengan fungsi Max dan Min.

Sekali lagi: Jika adalah contoh ukuran pada induk , maka pdf dari sampel maksimum adalah, katakan, : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

Sampel maksimum dan hanyalah dua gambar independen dari distribusi ; yaitu statistik pesanan dan dari (dalam sampel ukuran 2) persis seperti yang kami cari: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

Pdf gabungan dari , dalam sampel ukuran 2, misalkan , Adalah: $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

Diberikan . Kemudian, cdf dari adalah adalah: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

Keuntungan dari pendekatan ini adalah bahwa perhitungan probabilitas tidak lagi melibatkan fungsi max / min, yang dapat membuat derivasi (terutama dengan tangan) agak lebih mudah untuk diekspresikan.

Lain

Sesuai komentar saya di atas, tampaknya Anda salah menafsirkan pertanyaan ...

Kami diminta untuk menemukan:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

di mana penyebut adalah min (xmax, ymax), ... tidak minimal semua 's dan ' s. $X$ $Y$

serigala
sumber

Mengikuti sketsa Anda, saya mengerti bagaimana saya salah mengartikan pertanyaan itu. Saya mengerti bagaimana cara menghitung pdf bersama dari dua sampel maksimum, tetapi saya masih tidak yakin bagaimana kita harus menafsirkan rasio maks / mnt.

Susan

Saya telah menambahkan derivasi alternatif menggunakan statistik pesanan, yang 'menghindari' max / min.

serigala

Jika Anda mulai dengan log data, Susan, maka Anda akan melihat perbedaan statistik urutan daripada rasio .

whuber

Saya tidak yakin menggunakan perhitungan formal komputer adalah cara terbaik untuk menjelaskan alasan mengapa rasio adalah variabel acak Exp (1).

Xi'an

Poin bagus ... kecuali OP tidak menanyakan alasannya ... tetapi untuk menunjukkan bahwa itu Exp [1]. Saya juga tidak yakin apakah ini adalah pekerjaan rumah (atau tugas) atau tidak ... dan itu sebenarnya satu keuntungan baik dari menggunakan komputer: seseorang memberikan langkah-langkah untuk diikuti, memverifikasi hasilnya, sehingga seseorang memiliki pendekatan yang tepat , tetapi mekanika masih diserahkan kepada OP. Akan menyenangkan bagi seseorang untuk mengeksplorasi saran @ whuber untuk mengambil log di awal.

serigala