Saya pikir dua formula berikut ini benar:
sedangkan a adalah bilangan konstan
jika , adalah independen
Namun, saya tidak yakin apa yang salah dengan hal di bawah ini:
yang tidak sama dengan , yaitu 4 V a r ( X ) .
Jika diasumsikan bahwa adalah sampel yang diambil dari suatu populasi, saya pikir kita selalu dapat menganggap X sebagai independen dari X lainnya .
Jadi apa yang salah dengan kebingungan saya?
Jawaban:
Masalah dengan garis penalaran Anda adalah
ini tidak terlepas dari X . Simbol X digunakan untuk merujuk ke variabel acak yang sama di sini. Setelah Anda mengetahui nilai X pertama yangmuncul dalam rumus Anda, ini juga memperbaiki nilai X kedua yangmuncul. Jika Anda ingin mereka merujuk ke variabel acak yang berbeda (dan berpotensi independen), Anda harus menunjukkannya dengan huruf yang berbeda (misalnya X dan Y ) atau menggunakan subskrip (misalnya X 1 dan X 2 ); yang terakhir sering (tetapi tidak selalu) digunakan untuk menunjukkan variabel yang diambil dari distribusi yang sama.X X X X X X Y X1 X2
Jika dua variabel dan Y adalah independen maka Pr ( X = a | Y = b ) adalah sama dengan Pr ( X = a ) : mengetahui nilai Y tidak memberikan informasi tambahan tentang nilai X . Tetapi Pr ( X = a | X = b ) adalah 1 jika a = b dan 0 sebaliknya: mengetahui nilai XX Y Pr(X=a|Y=b) Pr(X=a) Y X Pr(X=a|X=b) 1 a=b 0 X memberikan informasi yang lengkap tentang nilai . [Anda dapat mengganti probabilitas dalam paragraf ini dengan fungsi distribusi kumulatif, atau jika sesuai, fungsi kepadatan probabilitas, untuk efek dasarnya sama.]X
Cara lain untuk melihat hal-hal adalah bahwa jika dua variabel independen maka mereka memiliki korelasi nol (meskipun nol korelasi tidak berarti kemerdekaan !) Tapi yang sempurna berkorelasi dengan dirinya sendiri, Corr ( X , X ) = 1 sehingga X tidak bisa mandiri itu sendiri. Perhatikan bahwa karena kovarians diberikan oleh Cov ( X , Y ) = Corr ( X , Y ) √X Corr(X,X)=1 X , laluCov(X,X)=1 √Cov(X,Y)=Corr(X,Y)Var(X)Var(Y)−−−−−−−−−−−−√
Rumus yang lebih umum untuk varians dari penjumlahan dari dua variabel acak adalah
Secara khusus, , jadiCov(X,X)=Var(X)
yang sama seperti yang Anda simpulkan dari penerapan aturan
and overall,
You can then use this to prove the (non-linear) results for variance that you wrote in your post:
The latter gives, as a special case whena=b=1 ,
WhenX and Y are uncorrelated (which includes the case where they are independent), then this reduces to Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) .
So if you want to manipulate variances in a "linear" way (which is often a nice way to work algebraically), then work with the covariances instead, and exploit their bilinearity.
sumber
2+PRNG(6)+PRNG(6)
often is how you would toss dice as above and/or notation/conventions such asAnother way of thinking about it is that with random variables2X≠X+X .
sumber