Mari dan , . Apa harapan sebagai ?
mathematical-statistics
random-variable
expected-value
digunakan oleh siapa
sumber
sumber
Jawaban:
Jawabannya memang ,1 / e seperti yang ditebak dalam balasan sebelumnya berdasarkan simulasi dan perkiraan terbatas.
Solusinya dengan mudah dicapai dengan memperkenalkan urutan fungsi . Meskipun kami bisa segera melanjutkan ke langkah itu, itu mungkin tampak agak misterius. Bagian pertama dari solusi ini menjelaskan bagaimana orang bisa memasak . Bagian kedua menunjukkan bagaimana mereka dieksploitasi untuk menemukan persamaan fungsional yang dipenuhi oleh fungsi pembatas . Bagian ketiga menampilkan perhitungan (rutin) yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan fungsional ini.f n ( t ) f ( t ) = lim n → ∞ f n ( t )fn: [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] fn( t ) f( t ) = limn → ∞fn( t )
1. Motivasi
Kita dapat sampai pada hal ini dengan menerapkan beberapa teknik pemecahan masalah matematika standar. Dalam hal ini, di mana beberapa jenis operasi diulangi secara tak terbatas, batas akan ada sebagai titik tetap dari operasi itu. Kuncinya, kemudian, adalah untuk mengidentifikasi operasi.
Kesulitannya adalah perpindahan dari ke terlihat rumit. Lebih mudah untuk melihat langkah ini sebagai yang timbul dari berdampingan ke variabel daripada berdampingan ke variabel . Jika kita menganggap sebagai dibangun seperti yang dijelaskan dalam pertanyaan - dengan didistribusikan secara seragam pada , didistribusikan secara seragam secara kondisional pada , dan seterusnya - kemudian memperkenalkanE [ X 1 X 2 ⋯ X n - 1 X n ] X 1 ( X 2 , … , X n ) X n ( X , 1 ]E[ X1X2⋯ Xn - 1] E[ X1X2⋯ Xn - 1Xn] X1 ( X2, ... , Xn) Xn ( X 2 ,( X1, X2, ... , Xn - 1) X 2 [ 0 X 3 [ X 2 , 1 ] X 1 X i 1 - X 1 1( X2, ... , Xn) X2 [ 0 , 1 ] X3 [ X2, 1 ] X1 akan menyebabkan setiap salah satu berikutnya untuk mengecilkan dengan faktor menuju batas atas . Alasan ini mengarah secara alami ke konstruksi berikut.Xsaya 1 - X1 1
Sebagai masalah awal, karena sedikit lebih mudah untuk mengecilkan angka ke daripada menuju , misalkan . Dengan demikian, didistribusikan secara seragam dalam dan didistribusikan secara seragam dalam bersyarat pada untuk semua Kami tertarik pada dua hal:1 Y i = 1 - X i Y 1 [ 0 , 1 ] Y i + 1 [ 0 , Y i ] ( Y 1 , Y 2 , … , Y i ) i = 1 , 2 , 3 , … .0 1 Ysaya= 1 - Xsaya Y1 [ 0 , 1 ] Yi + 1 [ 0 , Ysaya] ( Y1, Y2,…,Yi) i=1,2,3,….
Nilai pembatas .E[X1X2⋯Xn]=E[(1−Y1)(1−Y2)⋯(1−Yn)]
Bagaimana nilai-nilai ini berperilaku ketika menyusutkan semua secara seragam menuju : yaitu, dengan menskalakan semuanya dengan beberapa faktor umum , . 0 tYi 0 t 0≤t≤1
Untuk tujuan ini, tentukan
Jelas setiap didefinisikan dan kontinu (benar-benar terdiferensiasi, sebenarnya) untuk semua nyata . Kami akan fokus pada perilaku mereka untuk . t t ∈ [ 0 , 1 ]fn t t∈[0,1]
2. Langkah Kunci
Berikut ini jelas:
Setiap adalah fungsi yang menurun secara monoton dari menjadi .[ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ]fn(t) [0,1] [0,1]
nfn( 0 ) = 1 untuk semua .n
Ini menyiratkan bahwa ada untuk semua dan .f( t ) = limn → ∞fn(t) f ( 0 ) = 1t∈[0,1] f(0)=1
Perhatikan bahwa, tergantung pada , variabel seragam dalam dan variabel (tergantung pada semua variabel sebelumnya) seragam dalam : yaitu , memenuhi persis kondisi yang dipenuhi oleh . Karena ituY 2 / Y 1 [ 0 , 1 ] Y i + 1 / Y 1 [ 0 , Y i / Y 1 ] ( Y 2 / Y 1 , Y 3 / Y 1 , … , Y n / Y 1 )Y1 Y2/Y1 [0,1] Yi+1/Y1 [0,Yi/Y1] (Y2/Y1,Y3/Y1,…,Yn/Y1) (Y1,…,Yn−1)
Ini adalah hubungan rekursif yang kami cari.
Oleh karena itu dalam batas itu harus menjadi kasus bahwa untuk didistribusikan secara seragam dalam secara independen dari semua ,Y [ 0 , 1 ] Y in→∞ Y [0,1] Yi
Artinya, harus menjadi titik tetap dari fungsional yang dengannyaLf L
3. Perhitungan Solusi
Kosongkan fraksi dengan mengalikan kedua sisi dengan . Karena sisi kanan adalah bagian yang tidak terpisahkan, kita dapat membedakannya sehubungan dengan , memberit t1/t t t
Secara ekuivalen, dengan mengurangkan dan membagi kedua sisi dengan ,tf(t) t
untuk . Kami dapat memperpanjang ini dengan kontinuitas untuk memasukkan . Dengan kondisi awal (3) , solusi uniknya adalaht = 0 f ( 0 ) = 10<t≤1 t=0 f(0)=1
Akibatnya, pada (4), harapan membatasi adalah , QED. f ( 1 ) = e - 1 = 1 / eX1X2⋯Xn f(1)=e−1=1/e
Karena Mathematica tampaknya menjadi alat yang populer untuk mempelajari masalah ini, di sini adalah kode Mathematica untuk menghitung dan memplot untuk kecil . Plot menampilkan konvergensi cepat ke (ditampilkan sebagai grafik hitam). n f 1 , f 2 , f 3 , f 4 e - tfn n f1,f2,f3,f4 e−t
sumber
Memperbarui
Saya pikir ini adalah taruhan yang aman bahwa jawabannya adalah . Saya menjalankan integral untuk nilai yang diharapkan dari hingga menggunakan Mathematica dan dengan saya dapatkann = 2 n = 1001/e n=2 n=100 n=100
(ke 100 tempat desimal). Kebalikan dari nilai itu adalah
Perbedaannya dengan resiprokal dan adalahe
Saya pikir itu terlalu dekat, berani saya katakan, menjadi kebetulan yang rasional.
The Mathematica kode berikut:
Akhir pembaruan
Ini lebih merupakan komentar panjang daripada jawaban.
Jika kita menggunakan rute brute force dengan menentukan nilai yang diharapkan untuk beberapa nilai , mungkin seseorang akan mengenali suatu pola dan kemudian dapat mengambil batasan.n
Untuk , kami memiliki nilai yang diharapkan dari produk tersebutn=5
yaitu 96547/259200 atau sekitar 0,3724807098765432.
Jika kami menghapus integral dari 0 ke 1, kami memiliki polinomial dalam dengan hasil berikut untuk ke (dan saya telah menjatuhkan subskrip untuk membuat hal-hal sedikit lebih mudah dibaca): nx1 n = 6n=1 n=6
Jika seseorang mengenali bentuk koefisien integer, maka mungkin batas sebagai dapat ditentukan (setelah melakukan integrasi dari 0 ke 1 yang dihapus untuk menunjukkan polinomial yang mendasarinya).n→∞
sumber
Pertanyaan yang bagus Sama seperti komentar singkat, saya akan mencatat bahwa:
Jika , maka dengan simulasi Monte Carlo, seperti , .Zn= X1X2... Xn n → ∞ E[ Zn] ≈ 0,367
Diagram berikut membandingkan pdf simulasi Monte Carlo dari ke distribusi Fungsi Daya [yaitu Beta (a, 1) pdf)]Zn
... di sini dengan parameter :a = 0,57
(sumber: tri.org.au )
dimana:
Pas muncul cukup bagus.
Kode
Berikut adalah 1 juta gambar pseudorandom produk (katakanlah dengan ), di sini menggunakan Mathematica :Zn n = 1000
Sampel rata-rata adalah:
sumber
Murni secara intuitif, dan berdasarkan jawaban Rusty yang lain, saya pikir jawabannya harus seperti ini:
Yang memberi kitaX (a,1) a 0 1/2,(1+3/4)/2,(1+8/9)/2
0.3583668
. Untuk setiap , Anda membagi rentang dua, di mana dimulai pada . Jadi ini adalah produk , dll.( a , 1 ) a 0 1 / 2 , ( 1 + 3 / 4 ) / 2 , ( 1 + 8 / 9 ) / 2Ini hanya intuisi.
Masalah dengan jawaban Rusty adalah bahwa U [1] identik dalam setiap simulasi tunggal. Simulasi tidak independen. Perbaikan untuk ini mudah. Pindahkan garis dengan
U[1] = runif(1,0,1)
ke dalam lingkaran pertama. Hasilnya adalah:Ini memberi
0.3545284
.sumber