Bagaimana cara menunjukkan bahwa estimator konsisten?

EDIT: Memperbaiki kesalahan kecil.

Inilah satu cara untuk melakukannya:

Sebuah estimator $\theta$ (sebut saja $T_n$ ) konsisten jika menyatu dalam probabilitas untuk $\theta$ . Menggunakan notasi Anda

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$ .

Konvergensi dalam probabilitas, secara matematis, berarti

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ $\epsilon>0$

Cara termudah untuk menunjukkan konvergensi dalam probabilitas / konsistensi adalah dengan memanggil Chebyshev's Ketimpangan, yang menyatakan:

$P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

Jadi,

$P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

Jadi Anda harus menunjukkan bahwa menjadi 0 sebagai . $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

EDIT 2 : Di atas mensyaratkan bahwa penaksir setidaknya secara asimtotik tidak bias. Seperti yang ditunjukkan oleh G. Jay Kerns, pertimbangkan estimator (untuk memperkirakan mean ). bias untuk hingga dan asimtotik, dan sebagai . Namun, bukan penaksir yang konsisten dari . $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ $\mu$

EDIT 3 : Lihat poin utama dalam komentar di bawah.

sumber

@ G.JayKerns Ketidakcocokan tidak diperlukan untuk ini. Pertimbangkan . adalah penaksir yang bias dari standar deviasi namun Anda dapat menggunakan argumen di atas untuk menunjukkan bahwa itu konsisten.

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

Terlihat bagus (+1); dan saya akan menghapus komentar saya sebelumnya.

@ G.JayKerns Komentar Anda adalah tambahan yang perlu. Kita harus selalu memastikan bahwa kita menyadari asumsi yang sedang kita kerjakan.

@ MikeWierzbicki: Saya pikir kita harus sangat berhati-hati, khususnya dengan apa yang kita maksud dengan tidak memihak secara asimptotik . Setidaknya ada dua konsep berbeda yang sering menerima nama ini dan penting untuk membedakannya. Perhatikan bahwa tidak benar secara umum bahwa penaksir yang konsisten tidak memihak asimtotik dalam arti bahwa bahkan ketika mean ada untuk semua . Banyak orang menyebut konvergensi memihak dalam batas atau perkiraan tidak memihak ... (lanjutan)

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

kardinal

Jelas, agar penaksir yang konsisten bias dalam batas, konvergensi dalam harus gagal karena mana .

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

kardinal

Bagaimana cara menunjukkan bahwa estimator konsisten?

Jawaban: