Saya ingin belajar bagaimana menghitung nilai yang diharapkan dari variabel acak kontinu. Tampaknya nilai yang diharapkan adalah di mana adalah fungsi kepadatan probabilitas .f ( x ) X
Misalkan fungsi kerapatan probabilitas adalah yang merupakan kepadatan dari distribusi normal standar.f ( x ) = 1
Jadi, pertama-tama saya akan memasukkan PDF dan mendapatkan yang merupakan persamaan tampak agak berantakan. Konstanta dapat dipindahkan ke luar integral, memberikan 1
E[X]=1
Saya terjebak di sini. Bagaimana cara menghitung integral? Apakah saya melakukan ini dengan benar sejauh ini? Apakah cara paling sederhana untuk mendapatkan nilai yang diharapkan?
Jawaban:
Anda hampir sampai, ikuti langkah terakhir Anda:
Atau Anda dapat langsung menggunakan fakta bahwa adalah fungsi aneh dan batas integralnya simetri.xe−x2/2
sumber
Karena Anda ingin mempelajari metode penghitungan harapan, dan Anda ingin mengetahui beberapa cara sederhana, Anda akan menikmati menggunakan fungsi penghasil momen (mgf)
Metode ini bekerja dengan sangat baik ketika fungsi distribusi atau kepadatannya diberikan sebagai eksponensial sendiri. Dalam hal ini, Anda sebenarnya tidak harus melakukan integrasi apa pun setelah Anda amati
karena, menulis fungsi kepadatan normal standar pada sebagai (untuk konstan yang nilainya tidak perlu Anda ketahui), ini memungkinkan Anda untuk menulis ulang mgf sebagaix Ce−x2/2 C
Di sisi kanan, mengikuti istilah , Anda akan mengenali integral dari probabilitas total distribusi Normal dengan rerata dan satuan, yang karenanya adalah . Karena ituet2/2 t 1
Karena kerapatan Normal menjadi kecil pada nilai besar begitu cepat, tidak ada masalah konvergensi terlepas dari nilai . dapat dikenali analitik pada , artinya sama dengan seri MacLaurin-nyat ϕ 0
Namun, karena konvergen sepenuhnya untuk semua nilai , kami juga dapat menulisetX tX
Dua deret daya konvergen dapat sama hanya jika keduanya merupakan persamaan per suku, di mana (membandingkan istilah yang melibatkan )t2k=tn
menyiratkan
(dan semua harapan kekuatan aneh adalah nol). Untuk hampir tidak ada usaha Anda telah memperoleh harapan dari semua kekuatan integral positif dari sekaligus.X X
Variasi dari teknik ini dapat bekerja dengan baik dalam beberapa kasus, seperti , asalkan kisaran terbatas sesuai. Mgf (dan relatif dekat fungsi karakteristik ) sangat berguna, meskipun, Anda akan menemukannya diberikan dalam tabel properti distribusi, seperti dalam entri Wikipedia pada distribusi Normal .X E [ e i t X ]E[1/(1−tX)]=E[1+tX+(tX)2+⋯+(tX)n+⋯] X E[eitX]
sumber