Pertanyaannya adalah sebagai berikut:
Sampel acak dari nilai n dikumpulkan dari distribusi binomial negatif dengan parameter k = 3.
- Temukan estimator kemungkinan maksimum dari parameter π.
- Temukan rumus asimptotik untuk kesalahan standar estimator ini.
- Jelaskan mengapa distribusi binomial negatif akan mendekati normal jika parameter k cukup besar. Apa parameter perkiraan normal ini?
Pekerjaan saya adalah sebagai berikut:
1. Saya merasa seperti ini yang diinginkan tetapi saya tidak yakin apakah saya akurat di sini atau jika saya dapat mengambil ini lebih jauh mengingat informasi yang diberikan?
Saya pikir berikut ini yang diminta. Untuk bagian terakhir saya merasa seperti saya perlu mengganti dengan ℓ''( π )=-k
Saya tidak begitu yakin bagaimana membuktikan ini dan saya masih meneliti. Petunjuk atau tautan bermanfaat apa pun akan sangat dihargai. Saya merasa itu terkait baik dengan fakta bahwa distribusi binomial negatif dapat dilihat sebagai kumpulan distribusi geometris atau kebalikan dari distribusi binomial tetapi tidak yakin bagaimana cara mendekatinya.
Bantuan apa pun akan sangat dihargai
Jawaban:
1.
Setel ini menjadi nol,
2.
Untuk bagian kedua Anda perlu menggunakan teorema yang , adalah informasi nelayan di sini. Oleh karena itu, standar deviasi dari adalah . Atau Anda menyebutnya sebagai kesalahan standar karena Anda menggunakan CLT di sini.I(θ) θ [n−−√(θ^−θ)→DN(0,1I(θ)) I(θ) θ^ [nI(θ)]−1/2
Jadi kita perlu menghitung informasi Fisher untuk distribusi binomial negatif.
Catatan: untuk PMF binomial negatifE(x)=kπ
Oleh karena itu, kesalahan standar untuk adalahπ^ [n(kπ2+k(1−π)(1−π)2π)]−1/2
Sederhanakan kita dapatkan, kita mendapatkanse(π)=π2(π−1)kn−−−−−−−−√
3.
Distribusi geometrik adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif ketika k = 1. Note adalah distribusi geometrikπ(1−π)x−1
Oleh karena itu, variabel binomial negatif dapat ditulis sebagai jumlah dari k, variabel acak yang terdistribusi secara identik (geometris).
Jadi dengan CLT distribusi binomial negatif akan mendekati normal jika parameter k cukup besar
sumber