Penaksir skewness dan kurtosis yang tidak sesuai

Skewness dan kurtosis didefinisikan sebagai:

ζ_{3} = \frac{E [(X - μ)^{3}]}{E [(X - μ)^{2}]^{3 / 2}} = \frac{μ_{3}}{σ^{3}}

$\zeta_3 = \frac{E[(X-\mu)^3]}{E[(X-\mu)^2]^{3/2}} = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$

ζ_{4} = \frac{E [(X - μ)^{4}]}{E [(X - μ)^{2}]^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

$\zeta_4 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{E[(X-\mu)^2]^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

Rumus berikut digunakan untuk menghitung skewness dan kurtosis sampel:

z_{3} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} [(x_{saya} - \bar{x})^{3}]}{(\frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} [(x_{saya} - \bar{x})^{2}])^{3 / 2}}

$z_3 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^3]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^{3/2}}$

z_{4} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} [(x_{saya} - \bar{x})^{4}]}{(\frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} [(x_{saya} - \bar{x})^{2}])^{2}}

$z_4 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^4]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^2}$

Pertanyaan saya adalah: apakah estimator ini tidak bias? Saya tidak tahu apakah saya harus menggunakan standar deviasi bias atau yang bias dalam penyebut.

Secara umum, jika kita memiliki fungsi $f$ variabel mana yang merupakan penaksir tidak bias, maka dapat kita katakan $f$ Apakah estimator tidak bias juga?

skewness unbiased-estimator kurtosis SiXUlm
sumber

Jawaban:

Lihat hal. 8-9 dari http://modelingwithdata.org/pdfs/moments.pdf . Juga lihat http://www.amstat.org/publications/jse/v19n2/doane.pdf untuk beberapa perspektif yang berguna untuk membuat pemikiran Anda dalam kerangka berpikir yang benar.

Perhatikan bahwa apa yang Anda sebut deviasi standar tidak bias adalah penduga yang bias dari simpangan baku. Mengapa simpangan baku sampel penaksir yang bias $\sigma$ ? , meskipun sebelum mengambil akar kuadrat itu adalah penaksir varians yang tidak bias.

Fungsi nonlinier dari estimator yang tidak memihak tidak harus tidak bias ("hampir pasti" tidak akan). Arah bias dapat ditentukan oleh Jensen Inequality https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality jika fungsinya cembung atau cekung.

Mark L. Stone
sumber

Terima kasih! Sepertinya rumus penaksir "baik" sangat panjang. Jika saya menggunakan yang lebih sederhana, apakah itu benar-benar menyebabkan masalah serius? Btw, saya selalu salah paham bahwa sampel std adalah penduga UNBIASED

σ

$\sigma$ , ini juga menjawab pertanyaan kedua saya.

SiXUlm

Anda harus memutuskan apakah Anda menginginkan jawaban terbaik yang bisa Anda dapatkan, atau tidak. jika Anda menginginkan jawaban terbaik, maka bayar harganya jika perlu.

Mark L. Stone

Bias belum tentu buruk. Anda harus mempertimbangkan varians juga. Kedekatan estimator dengan estimand dapat diukur menggunakan deviasi kuadrat yang diharapkan dari estimator ke estimand, yang sama dengan varians dari estimator plus kuadrat bias dari estimator. Dalam banyak kasus ada "varians bias trade-off" di mana peningkatan bias lebih dari diimbangi oleh pengurangan varian. Saya berani bertaruh bahwa ini benar untuk perkiraan kurtosis dan skewness. Seseorang ingin memposting penelitian tentang ini?

Peter Westfall

apakah ada trade off dalam kasus ini?

Xiaoxiong Lin

@filippo modellingwithdata.org/about_the_book.html

Mark L. Stone