Biarkan dan menjadi 2 iidrv di mana . Saya ingin tahu distribusi untuk .X 2 log ( X 1 ) , log ( X 2 ) ∼ N ( μ , σ ) X 1 - X 2
Yang terbaik yang bisa saya lakukan adalah mengambil deret Taylor dari keduanya dan mendapatkan bahwa perbedaannya adalah jumlah perbedaan antara dua rv normal dan dua rv kuadrat-ku selain sisa perbedaan antara sisa istilah. Apakah ada cara yang lebih mudah untuk mendapatkan distribusi perbedaan antara 2 iid log-normal rv's?
Jawaban:
Ini masalah yang sulit. Saya pertama kali berpikir tentang menggunakan (perkiraan) fungsi penghasil momen dari distribusi lognormal. Itu tidak berhasil, seperti yang akan saya jelaskan. Tetapi pertama-tama beberapa notasi:
Biarkan menjadi kepadatan normal standar dan Φ fungsi distribusi kumulatif yang sesuai. Kami hanya akan menganalisis distribusi kasus lognormal l n N ( 0 , 1 ) , yang memiliki fungsi kepadatan f ( x ) = 1ϕ Φ l n N( 0 , 1 )
dan fungsi distribusi kumulatif
F(x)=Φ(lnx)
MisalkanXdanYadalah variabel acak independen dengan distribusi lognormal di atas. Kami tertarik pada distribusiD=X-Y, yang merupakan distribusi simetris dengan rata-rata nol. MariM(t)=EetXmenjadi fungsi pembangkit momenX. Ini didefinisikan hanya untukt
Ungkapan ini dapat digunakan untuk integrasi numerik atau sebagai dasar untuk simulasi. Tes pertama:
yang jelas benar. Mari kita selesaikan ini di dalam suatu fungsi:
pemberian yang mana:
Kemudian kita dapat menemukan fungsi kerapatan dengan membedakan di bawah tanda integral, memperoleh
yang dapat kami uji:
Dan memplot kepadatan yang kita dapatkan:
Saya juga mencoba untuk mendapatkan beberapa perkiraan analitik, tetapi sejauh ini tidak berhasil, ini bukan masalah yang mudah. Tetapi integrasi numerik seperti di atas, diprogram dalam R sangat cepat pada perangkat keras modern, sehingga merupakan alternatif yang baik yang mungkin harus digunakan lebih banyak.
sumber
Tergantung pada aplikasi Anda, ini dapat melayani kebutuhan Anda.
sumber