Seperti yang disarankan dalam judul. Misalkan adalah variabel acak kontinu iid dengan pdf . Pertimbangkan kejadian yang , , dengan demikian adalah ketika urutan menurun untuk pertama kalinya. Lalu apa nilai ?
Saya mencoba mengevaluasi terlebih dahulu. Saya telah Demikian pula, saya mendapat . Ketika menjadi besar, perhitungannya menjadi lebih rumit dan saya tidak dapat menemukan polanya. Adakah yang bisa menyarankan bagaimana saya harus melanjutkan?
probability
self-study
iid
Hai kubis
sumber
sumber
[self-study]
tag & baca wiki -nya .Jawaban:
Jika adalah urutan variabel acak yang dapat dipertukarkan dan maka jika dan ony jika . Karena itu, dengan simetri. Karenanya, .{Xi}i≥1 N=min{n:Xn−1>Xn}, N≥n X1≤X2≤⋯≤Xn−1 Pr(N≥n)=Pr(X1≤X2≤⋯≤Xn−1)=1(n−1)!,(∗) E[N]=∑∞n=1Pr(N≥n)=e≈2.71828…
Orang PS bertanya tentang bukti . Karena urutan dapat dipertukarkan, haruslah itu, untuk permutasi apa pun , kami memiliki Karena kita punyakemungkinan permutasi, hasilnya mengikuti.(∗) π:{1,…,n−1}→{1,…,n−1} Pr(X1≤X2≤⋯≤Xn−1)=Pr(Xπ(1)≤Xπ(2)≤⋯≤Xπ(n−1)). (n−1)!
sumber
Seperti yang disarankan oleh Silverfish, saya memposting solusi di bawah ini. Dan
Jadi .E[N]=∑∞i=1P[N≥i]=∑∞i=11(i−1)!=e
sumber
Argumen alternatif: hanya ada satu pemesanan yang meningkat, darikemungkinan permutasi . Kami tertarik dengan urutan yang meningkat hingga posisi kedua dari belakang, dan kemudian menurun: ini membutuhkan maksimum berada di posisi , dan salah satu dari lainnya berada di posisi akhir. Karena ada cara untuk memilih salah satu istilah pertama dalam urutan yang kami pesan dan memindahkannya ke posisi akhir, maka kemungkinannya adalah:Xi n! X1,…,Xn n−1 n−1 Xi n−1 n−1
Catatan , dan jadi ini konsisten dengan hasil yang ditemukan oleh integrasi.Pr(N=2)=2−12!=12 Pr(N=3)=3−13!=13 Pr(N=4)=4−14!=18
Untuk menemukan nilai diharapkan, kita dapat menggunakan:N
(Untuk membuat penjumlahan lebih jelas saya telah menggunakan ; untuk pembaca yang tidak terbiasa dengan jumlah ini, ambil seri Taylor dan gantikan )k=n−2 ex=∑∞k=0xkk! x=1
Kita dapat memeriksa hasilnya dengan simulasi, berikut ini beberapa kode dalam R:
Ini kembali
2.718347
, cukup dekat2.71828
untuk memuaskan saya.sumber
EDIT: Jawaban saya salah. Saya meninggalkannya sebagai contoh betapa mudahnya pertanyaan yang tampaknya sederhana ini disalahtafsirkan.
Saya tidak berpikir matematika Anda benar untuk kasus . Kami dapat memeriksa ini melalui simulasi sederhana:P[N=4]
Memberi kami:
Mengubah
order
istilah menjadi 4 memberi kami:Dan 5:
Jadi jika kita mempercayai hasil simulasi kita, sepertinya polanya adalah . Tapi ini masuk akal juga, karena apa yang Anda benar-benar tanyakan adalah berapa probabilitas bahwa setiap pengamatan yang diberikan dalam subset dari semua pengamatan Anda adalah pengamatan minimum (jika kita mengasumsikan iid maka kita mengasumsikan dapat dipertukarkan dan urutannya adalah arbiter ). Salah satunya harus minimum, jadi pertanyaannya adalah berapa probabilitas bahwa setiap pengamatan yang dipilih secara acak adalah minimum. Ini hanyalah proses binomial sederhana.P[N=X]=1x
sumber