Bagaimana Anda menghitung kesalahan standar untuk transformasi MLE?

9

Saya perlu membuat kesimpulan tentang parameter positif . Untuk mengakomodir kepositifan, saya memvariasikan ulang p = exp ( q ) . Menggunakan rutin MLE saya menghitung estimasi titik dan se untuk q . Properti invarian dari MLE secara langsung memberi saya estimasi titik untuk p , tapi saya tidak yakin bagaimana menghitung se untuk p . Terima kasih sebelumnya atas saran atau referensi.pp=exp(q)qpp

Marcel
sumber
Tidak bisakah Anda menggunakan rutin MLE yang sama untuk menghitung estimasi titik dan mencari secara langsung? p
Whuber

Jawaban:

20

The Metode Delta digunakan untuk tujuan ini. Dalam beberapa standar asumsi keteraturan , kita tahu untuk θ adalah sekitar (yaitu asimtotik) didistribusikan sebagaiθ^θ

θ^N(θ,I1(θ))

di mana adalah kebalikan dari informasi Fisher untuk seluruh sampel, dievaluasi pada θ dan N ( μ , σ 2 ) menunjukkan distribusi normal dengan mean μ dan varians σ 2 . The invarian fungsional dari MLE mengatakan bahwa MLE dari g ( θ ) , di mana g adalah beberapa fungsi yang diketahui, adalah g ( θ ) (seperti yang Anda menunjukkan) dan memiliki distribusi perkiraanI1(θ)θN(μ,σ2)μσ2g(θ)gg(θ^)

g(θ^)N(g(θ),I1(θ)[g(θ)]2)

di mana Anda bisa pasang di estimator yang konsisten untuk jumlah yang tidak diketahui (yaitu plug in θ mana θ muncul dalam varians). Saya berasumsi kesalahan standar yang Anda miliki didasarkan pada informasi Fisher (karena Anda memiliki MLE). Nyatakan bahwa standard error oleh s . Kemudian standard error e θ , seperti dalam contoh Anda, adalahθ^θseθ^

s2e2θ^

Saya mungkin menafsirkan Anda mundur dan pada kenyataannya Anda memiliki varian MLE dari dan ingin varian MLE dari log ( θ ) dalam hal ini standarnya adalahθlog(θ)

s2/θ^2
Makro
sumber
1
Hanya catatan tambahan: ada juga ekstensi multivariat yang sesuai di mana turunannya digantikan oleh gradien, dan perkaliannya harus berupa perkalian matriks, jadi ada sedikit lebih banyak sakit kepala dalam mencari tahu ke mana arah transposnya.
Tugas
1
g(θ^)g(θ)I(θ)1g(θ)
θ^
Terima kasih @ MånsT, saya juga mengklarifikasi maksud saya secara asimptotik ketika saya mengatakan kira-kira :)
Makro
6

pp^[q1,q2]q[exp(q1),exp(q2)]pqp

NRH
sumber