Berapa minimum atas semua distribusi unimodal kontinu pada interval terbatas ?

Semua distribusi pada interval terbatas memenuhi:$[0,1]$

$$\sigma^2 \le \mu (1-\mu)$$

di mana adalah mean dan varians.$\mu$$\sigma^2$

Sekarang anggaplah bahwa distribusi adalah unimodal, dalam arti bahwa ia memiliki paling banyak satu lokal maksimum. Berapa nilai minimum yang dapat dimiliki rasio berikut:

$$\frac{\mu (1-\mu)}{\sigma^2}?$$

Minimal tidak ada. Namun, sebuah infinite tidak. Ini mengikuti dari fakta itu

Supremum varian dari distribusi unimodal yang didefinisikan pada memiliki rata-rata adalah ( ) atau ( ).$[0,1]$$\mu$$\mu(2 - 3\mu)/3$$0 \le \mu \le 1/2$$(1-\mu)(3\mu-1)/3$$1/2\le \mu \le 1$

Supremum sebenarnya diperoleh dengan distribusi yang - meskipun tidak memiliki fungsi kepadatan - masih dapat (dalam arti umum) dianggap sebagai "unimodal"; ia akan memiliki atom pada (ketika ) atau atom pada (ketika ) tetapi seragam.$0$$\mu \lt 1/2$$1$$\mu \gt 1/2$

---

Saya akan membuat sketsa argumen. Pertanyaannya meminta kita untuk mengoptimalkan fungsional linier

$$\mathcal{L_{x^2}}: D[0,1] \to \mathbb{R}$$

tunduk pada berbagai kendala kesetaraan dan ketidaksetaraan, di mana adalah himpunan langkah-langkah (ditandatangani) pada interval . Untuk dibedakan dan fungsi kontinu, tentukan$D[0,1]$$[0,1]$$F:[0,1]\to\mathbb{R}$$g:[0,1]\to\mathbb{R}$

$$\mathcal{L}_g[F] = \int_0^1 g(x) dF(x),$$

dan ke semua dengan kontinuitas.$\mathcal{L}$$D[0,1]$

Kendala kesetaraan adalah

$$\mathcal{L}_1[F] = 1$$

dan

$$\mathcal{L}_x[F] = \mu.$$

Kendala ketimpangan adalah itu

$$f(x) \ge 0$$

dan ada ("mode") sedemikian rupa sehingga untuk semua dan semua ,$\lambda \in [0,1]$$0\le x \le y \le \lambda$$\lambda \le y \le x \le 1$

$$f(x) \le f(y).$$

Batasan ini menentukan domain cembung di mana harus dioptimalkan.$\mathcal{X}\subset D[0,1]$$\mathcal{L}_{x^2}$

Seperti halnya program linear dalam ruang dimensi terbatas, ekstrem dari akan diperoleh pada simpul dari . Ini jelas adalah ukuran, benar-benar kontinu berkenaan dengan ukuran Lebesgue, yang sebagian konstan , karena simpul adalah di mana hampir semua ketidaksetaraan menjadi persamaan: dan sebagian besar ketidaksetaraan tersebut dikaitkan dengan unimodality (perilaku ekor yang tidak meningkat) .$\mathcal{L}_g$$\mathcal{X}$$F$

Untuk memenuhi dua batasan kesetaraan, kita hanya perlu membuat satu break pada grafik , misalnya di angka . Membiarkan nilai konstan pada interval menjadi dan nilai konstan pada menjadi , perhitungan yang mudah berdasarkan pada hasil kendala kesetaraan$f$$0\lt \lambda \lt 1$$[0,\lambda)$$a$$(\lambda, 1]$$b$

$$a = \frac{1+\lambda-2\mu}{\lambda},\ b = \frac{2\mu-\lambda}{1-\lambda}.$$

Angka ini mengatakan semuanya: ini menggambarkan fungsi distribusi konstan lokal rata-rata dengan paling banyak satu break di . (Alur untuk terlihat seperti pembalikan dari yang ini.)$\mu$$\lambda$$f_{(\lambda,\mu)}$$\mu \gt 1/2$

Nilai pada ukuran seperti itu (yang akan saya nyatakan , kepadatan distribusi ) adalah sama siap dihitung menjadi$\mathcal{L}_{x^2}$$f_{(\lambda, \mu)}$$F_{(\lambda, \mu)}$

$$\mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\left(2\mu + (2\mu - 1)\lambda\right).$$

Ungkapan ini linear dalam , menyiratkan dimaksimalkan pada (ketika ), (ketika ), atau pada nilai apa pun (ketika ) . Namun, kecuali ketika , nilai pembatas dari tindakan tidak lagi bersambung: distribusi yang sesuai atau memiliki diskontinuitas melompat pada atau (tetapi tidak keduanya).$\lambda$$0$$\mu \lt 1/2$$1$$\mu \gt 1/2$$\mu = 1/2$$\mu=1/2$$f_{(\lambda, \mu)}$$F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$$F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$$0$$1$

Gambar ini grafik optimal untuk rata-rata .$F$$\mu \approx 2/5$

Apapun, nilai optimalnya adalah

$$\sigma^2_\mu = \sup_\lambda \mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\mu(2 - 3\mu).$$

Konsekuensinya, nilai maksimum dari untuk adalah$\mu(1-\mu)/\sigma^2$$0\le \mu \lt 1/2$

$$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu = \frac{3-3\mu}{2-3\mu},$$

dengan ekspresi yang sebanding ketika (diperoleh dengan mengganti dengan ).$1/2\lt \mu \le 1$$\mu$$1-\mu$

Angka ini memplot supremum versus .$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$$\mu$