Batas Atas aktif

8

X adalah variabel acak diskrit yang dapat mengambil nilai dari . Karena adalah fungsi cembung, kita dapat menggunakan ketidaksetaraan Jensen untuk menurunkan batas bawah : Apakah mungkin untuk mendapatkan batas atas ?(0,1)φ(x)=1/x

E[11X]11E[X]=11a
Mike
sumber
1
Pertimbangkan apa yang terjadi ketika X memiliki batas atas yang mendekati 1 dari bawah. Sekarang pertimbangkan distribusi dengan yang menyertakan 1 dengan kepadatan bukan nol. Sekarang perhatikan distribusi diskrit, di mana 1 memiliki probabilitas nol. Anda mungkin ingin memulai dengan beberapa batasan
Glen_b -Reinstate Monica
1
Generalisasi pertanyaan ini dapat diterapkan pada variabel acak dengan harapan untuk mendapatkan jawaban segera: lihat stats.stackexchange.com/questions/141766 . Ketidaksetaraan yang disediakan ketat: yaitu batas atas dapat dicapai. Ini memberikan batas atas yang berguna (tidak terbatas) jika supremum kurang dari . 1X1aX1
Whuber

Jawaban:

5

Tidak ada batas atas.

Secara intuitif, jika memiliki dukungan substansial sepanjang urutan mendekati , maka dapat memiliki harapan yang berbeda (sewenang-wenang besar). Untuk menunjukkan tidak ada batas atas, yang harus kita lakukan adalah menemukan kombinasi dukungan dan probabilitas yang mencapai harapan yang diinginkan dari . Berikut ini secara eksplisit membangun seperti itu .X11/(1X)aX


Asumsikan (untuk dipilih nanti) dan (juga untuk dipilih nanti). Biarkan mengambil nilai dengan probabilitas . Kemudian0<λ<1s>1X

an=1λns
pn=nsζ(s),
n=1,2,

a=E(X)=n=1pnan=1ζ(s)n=1ns(1λns)=1λζ(2s)ζ(s).

Rentang adalah interval , karena grafik parsial ini menunjukkan:f(s)=ζ(2s)/ζ(s)(0,1)

Gambar rasio zeta

Memilih sedemikian sehingga , pilih yang ; yaitu, . Ini membangun dengan semua properti yang dinyatakan.λ1a<λ<1s>1f(s)=(1a)/λa=1λf(s)X

Mempertimbangkan

E(11X)=n=1pnnsλ=1λζ(s)n=11.

Jumlahnya berbeda. Akibatnya tidak ada batas atas yang konsisten dengan kondisi yang dinyatakan.

whuber
sumber