Apakah 10 kepala berturut-turut meningkatkan kemungkinan lemparan berikutnya menjadi ekor?

57

Saya berasumsi bahwa yang berikut ini benar: mengasumsikan koin yang adil, mendapatkan 10 kepala berturut-turut sementara melempar koin tidak meningkatkan peluang lemparan koin berikutnya menjadi ekor , tidak peduli berapa jumlah probabilitas dan / atau jargon statistik yang dilemparkan ke sekitar (permisi permainan kata-kata).

Dengan asumsi itu yang terjadi, pertanyaan saya adalah ini: bagaimana saya meyakinkan seseorang yang menjadi kasusnya?

Mereka cerdas dan berpendidikan tetapi tampaknya bertekad untuk tidak mempertimbangkan bahwa saya mungkin benar dalam hal ini (argumen).

pengguna68492
sumber
15
Argumen apa yang mereka bawa untuk mendukung posisi mereka? Mungkin Anda bisa menarik perhatian pada kenyataan bahwa koin tidak memiliki memori. (Atau, Anda bisa mengajari mereka dengan bertaruh pada lemparan berikutnya dan memberi mereka peluang curam yang nyata - ulangi sampai mereka kehilangan banyak uang.)
S. Kolassa - Reinstate Monica
36
Ini dikenal sebagai Gambler's Fallacy
Dan
6
Jika apa yang mereka katakan itu benar, Anda harus merekam setiap flip koin karena koin itu dicetak untuk mengetahui apakah itu "koin yang adil"
Mikey Mouse
10
Kuncinya di sini adalah apakah ini koin asli atau hipotetis. Dalam statistik, mendapatkan 10 kepala tidak berarti apa-apa, dan kemungkinan yang berikutnya masih 50/50. Dalam kehidupan nyata, membalik 10 kepala akan membuat saya memeriksa koin lebih dekat.
anaximander
14
Ajukan pertanyaan ini kepada teman Anda: misalkan kita mendapatkan sepuluh orang untuk masing-masing secara bersamaan membalikkan sepuluh koin sampai semuanya muncul . Saat itu terjadi - yang bisa Anda lakukan dalam waktu kurang dari satu jam - Anda memiliki orang kesebelas yang melempar koin kesebelas. Tanyakan kepada teman Anda: apakah orang yang kesebelas itu lebih cenderung membalik? Jika mereka mengatakan ya, mintalah mereka menjelaskan mengapa orang yang memiliki kepentingan dalam membalik koin - tim sepak bola, katakan - tidak menggunakan teknik ini untuk mengubah peluang yang menguntungkan mereka. Jika mereka mengatakan tidak, mintalah mereka menjelaskan apa yang berbeda antara kedua skenario.
Eric Lippert

Jawaban:

76

mereka mencoba untuk menyatakan bahwa [...] jika ada 10 kepala, maka selanjutnya dalam urutan akan lebih cenderung menjadi ekor karena statistik mengatakan akan seimbang pada akhirnya

Hanya ada "keseimbangan" dalam arti yang sangat khusus.

Jika itu koin yang adil, maka masih 50-50 di setiap undian. Koin tidak bisa tahu masa lalunya . Tidak tahu ada kelebihan kepala. Itu tidak bisa mengimbangi masa lalunya. Selamanya . itu hanya berjalan secara acak menjadi kepala atau ekor dengan peluang kepala yang konstan.

Jika adalah jumlah kepala dalam n = n H + n T lemparan ( n T adalah jumlah ekor), untuk koin yang adil, n H / n T akan cenderung ke 1, karena n H + n T pergi ke infinity .... tapi | n H - n T | tidak pergi ke 0. Bahkan, itu juga berlaku hingga tak terbatas!nHn=nH+nTnTnH/nTnH+nT|nH-nT|

Artinya, tidak ada yang bertindak untuk membuat mereka lebih adil. Hitungannya cenderung tidak "menyeimbangkan". Rata-rata, ketidakseimbangan antara jumlah kepala dan ekor benar-benar tumbuh!

Inilah hasil dari 100 set 1000 kali lemparan, dengan jejak abu-abu menunjukkan perbedaan jumlah kepala dikurangi jumlah ekor di setiap langkah.

masukkan deskripsi gambar di sini

Jejak abu-abu (mewakili ) adalah jalan acak Bernoulli. Jika Anda berpikir tentang partikel yang bergerak ke atas atau ke bawah sumbu y dengan langkah unit (secara acak dengan probabilitas yang sama) pada setiap langkah waktu, maka distribusi posisi partikel akan 'berdifusi' menjauh dari 0 dari waktu ke waktu. Masih memiliki nilai 0 yang diharapkan, tetapi jarak yang diharapkan dari 0 tumbuh sebagai akar kuadrat dari jumlah langkah waktu. [Catatan untuk siapa pun yang berpikir " apakah ia berbicara tentang perbedaan absolut yang diharapkan atau perbedaan RMS " - sebenarnya baik: untuk besar n yang pertama adalah nH-nTn80% dari yang kedua.]2/π

Kurva biru di atas berada pada dan kurva hijau pada±2±n . Seperti yang Anda lihat, jarak khas antara total head dan total tail tumbuh. Jika ada sesuatu yang bertindak untuk 'mengembalikan kesetaraan' - untuk 'menebus' penyimpangan dari kesetaraan - mereka tidak akan cenderung tumbuh terpisah seperti itu. (Tidak sulit untuk menunjukkan ini secara aljabar, tapi saya ragu itu akan meyakinkan teman Anda. Bagian yang penting adalah bahwa varians dari jumlah variabel acak independen adalahjumlah varians<lihat bagian akhir dari bagian terkait>- setiap saat Anda menambahkan flip koin lain, Anda menambahkan jumlah yang konstan ke dalam varians dari penjumlahan ... sehingga varians harus tumbuh secara proporsional dengann. Akibatnya deviasi standar meningkat dengan±2n <>n . Konstanta yang ditambahkan ke varian pada setiap langkah dalam kasus ini adalah 1, tetapi itu tidak penting untuk argumen.)n

Setara, tidak pergi ke0sebagai total lemparan pergi ke infinity, tetapi hanya karenanH+nTpergi ke infinity jauh lebih cepat daripada| nH-nT| ya.|nH-nT|nH+nT0nH+nT|nH-nT|

Itu berarti jika kita membagi jumlah kumulatif dengan n pada setiap langkah, itu kurva di - perbedaan mutlak khas dalam hitungan adalah dari urutan , tetapi perbedaan absolut tipikal dalamproporsiharus dari urutan1/n .1/n

masukkan deskripsi gambar di sini

Hanya itu yang terjadi. Penyimpangan yang semakin besar * acak dari kesetaraan hanya " dihapus " oleh penyebut yang bahkan lebih besar .

* Menambah ukuran absolut khas

Lihat animasi kecil di margin, di sini

Jika teman Anda tidak yakin, lempar beberapa koin. Setiap kali Anda mengatakan tiga kepala berturut-turut, suruh dia mencalonkan kemungkinan untuk kepala pada lemparan berikutnya (itu kurang dari 50%) yang menurutnya harus adil dengan alasannya. Minta mereka untuk memberi Anda peluang yang sesuai (yaitu, ia harus bersedia membayar sedikit lebih dari 1: 1 jika Anda bertaruh, karena mereka bersikeras bahwa ekor lebih mungkin). Paling baik jika disetel sebagai banyak taruhan masing-masing dengan sejumlah kecil uang. (Jangan heran jika ada beberapa alasan mengapa mereka tidak dapat mengambil setengah dari taruhan mereka - tetapi itu setidaknya tampaknya secara dramatis mengurangi kegigihan di mana posisi diadakan.)

[Namun, semua diskusi ini didasarkan pada koin yang adil. Jika koin itu tidak adil (50-50), maka versi diskusi yang berbeda - yang didasarkan pada penyimpangan dari selisih proporsi yang diharapkan akan diperlukan. Memiliki 10 kepala dalam 10 kali lemparan mungkin membuat Anda curiga dengan asumsi p = 0,5. Koin yang dilempar dengan baik harus dekat dengan yang tertimbang adil atau tidak - tetapi pada kenyataannya masih menunjukkan bias yang kecil namun dapat dieksploitasi , terutama jika orang yang mengeksploitasinya adalah seseorang seperti Persi Diaconis. Koin pintal di sisi lain, mungkin cukup rentan terhadap bias karena lebih berat di satu sisi.]

Glen_b
sumber
3
Sebagai bukti taruhan, mungkin dapatkan 2 £ / $ (apa pun yang Anda gunakan) dalam koin 1p / 1 sen. Lakukan taruhan seperti yang disebutkan di atas, dengan odds yang diminta berdasarkan kemungkinan dari taruhan sebelumnya, sampai salah satu dari Anda memiliki semua uang yang lain. Setelah Anda mengambil uangnya 100 kali, lebih sulit baginya untuk berdebat.
Jon Story
1
+1 untuk gagasan taruhan. Kehilangan uang sepertinya argumen yang meyakinkan ...
Erel Segal-Halevi
2
Hanya komentar kecil mengenai pernyataan terakhir Anda (di []). Menurut Andrew Gelman, tidak ada koin yang tidak adil .
Henrik
@ Henrik, saya sudah terhubung ke artikel itu di posting saya. Anda mungkin ingin memeriksa tautan lain dalam kalimat yang saya tautkan padanya. Anda mungkin menemukannya cukup instruktif. Sementara koin mungkin (dalam arti yang sangat khusus yang dimaksudkan Gelman) menjadi "adil", dalam arti lain (menurut ingatan saya, perasaan yang Diaconis cukup mampu mengeksploitasi berulang kali dalam demonstrasi - menjadi pesulap yang terampil serta ahli statistik) hasilnya dari melemparkannya mungkin agak jauh dari adil.
Glen_b
2
Jawaban yang bagus. Poin yang perlu diperhatikan secara sepintas adalah bahwa "run" maksimum yang diharapkan dalam lemparan adalah n . 10 berturut-turut dalam 100 kali lemparan kira-kira benar, untuk 1000 kali lemparan, kita harus mengharapkan lebih dari 30 kali berturutn
Dale M
31

Kebingungannya adalah karena dia melihat probabilitas sejak awal tanpa melihat apa yang telah terjadi.

Mari kita sederhanakan:

Flip pertama:

T

Sekarang peluang T adalah 50%, jadi 0,5.

Peluang flip berikutnya menjadi T lagi adalah 0,5

TT 0.5
TF 0.5

Namun, bagaimana dengan flip pertama? Jika kita memasukkannya maka:

TT 0.25
TF 0.25

50% sisanya dimulai dengan F, dan sekali lagi memiliki pembagian yang rata antara T dan F.

Untuk memperpanjang ini menjadi sepuluh ekor berturut-turut - probabilitas yang sudah Anda dapatkan yaitu 1/1024.

Probabilitas bahwa yang berikutnya adalah T atau F adalah 50%.

Jadi peluang dari awal 11 ekor adalah 1 pada 2048. Probabilitas yang telah membalik ekor 10 kali lipat berikutnya juga akan menjadi ekor meskipun masih 50%.

Mereka mencoba menerapkan ketidaksamaan 1 dalam 1024 peluang 10 T ke peluang T lain, padahal sebenarnya sudah terjadi sehingga kemungkinan itu terjadi tidak lagi penting.

11 ekor berturut-turut tidak lebih atau kurang dari 10 ekor diikuti oleh satu kepala.

Probabilitas bahwa 11 membalik adalah semua ekor tidak mungkin tetapi karena sudah terjadi tidak ada masalah lagi!

Tim B
sumber
6
Saya pikir ini benar-benar jawaban yang paling langsung. Saya pikir bagian dari masalah adalah bahwa orang-orang agak bertele-tele dalam menyatakan bahwa kesempatan untuk koin berikutnya menjadi kepala selalu 50%, yang jelas benar. Saya pikir itu sangat jelas bahwa ketika orang 'tidak percaya' ini, mereka jelas berbicara tentang kemungkinan mendapatkan 10 berturut-turut, bukan hanya 1. Mengakui poin bahwa tentu saja lebih kecil kemungkinannya untuk mendapatkan 10 kepala berturut-turut daripada itu untuk mendapatkan 1 head dalam 1 flip akan cukup banyak mengakhiri 'perdebatan'.
Kik
13

Kemungkinannya masih 50-50 bahwa flip berikutnya akan menjadi ekor.

Penjelasan yang sangat sederhana: Peluang membalik 10 kepala + 1 ekor dalam urutan itu sangat rendah. Tetapi pada saat Anda membalik 10 kepala, Anda telah mengalahkan sebagian besar peluang ... Anda memiliki peluang 50-50 untuk menyelesaikan urutan dengan flip koin berikutnya.

James K
sumber
11

Anda harus mencoba meyakinkan mereka bahwa jika hasil sebelumnya berdampak pada lemparan mendatang maka tidak hanya 10 lemparan terakhir yang harus dipertimbangkan, tetapi juga setiap lemparan sebelumnya dalam kehidupan koin.

Saya pikir ini pendekatan yang lebih logis.

Arthur Rizzo
sumber
1
Ini. Akal sehat adalah cara terbaik untuk menjelaskan Masalah Penjudi, karena akal sehat adalah penyebabnya. Mulai bantahan Anda dengan sesuatu seperti jawaban ini, dan mereka akan dengan cepat sampai pada kesimpulan bahwa mereka salah sendiri. Maka mereka akan sepenuhnya menerima alasan yang benar.
talrnu
1
Mengapa hanya koin itu? Mengapa tidak setiap koin dilemparkan?
colmde
7

Ini sebenarnya bukan jawaban - masalah Anda adalah psikologis, bukan matematika. Tetapi mungkin bisa membantu.

sometimes210103

Ethan Bolker
sumber
7

1/2

xn11,12,...,n+10.

limnxn/n=1/2
limn10+xnn+10=1/2
10+50000010000100,5

Aspek lainnya adalah : Setelah sepuluh kali lemparan sepuluh ekor, mungkin seseorang mulai meragukan apakah koin itu bagus, sesuai dengan model sederhana, biasa yang independen, probabilitas yang sama. Dengan asumsi "tosser" (orang yang melakukan tossing) belum dilatih untuk mengendalikan lemparan dengan cara tertentu, dan benar-benar melemparkan dengan cara yang jujur, kemungkinan ekor harus satu setengah ( lihat makalah Gelman ini .)

Jadi harus ada, dalam hipotesis alternatif, beberapa ketergantungan di antara lemparan koin! Dan, setelah melihat sepuluh ekor berturut-turut, buktinya adalah bahwa ketergantungan itu positif, sehingga satu ekor meningkatkan kemungkinan bahwa lemparan koin berikutnya adalah ekor. Tapi kemudian, setelah analisis itu, kesimpulan yang masuk akal adalah bahwa probabilitas lemparan kesebelas menjadi ekor, meningkat , bukan diturunkan! Jadi kesimpulannya, dalam hal ini, adalah kebalikan dari teman penjudi Anda.

Saya pikir Anda akan membutuhkan model yang sangat aneh untuk membenarkan kesimpulan mereka.

kjetil b halvorsen
sumber
4

Dengan asumsi membalik koin independen, ini sangat mudah dibuktikan dari satu ahli statistik ke yang lain. Namun, teman Anda tampaknya tidak percaya bahwa koin terbalik bersifat independen. Selain melemparkan kata-kata yang identik dengan independen (misalnya, koin tidak memiliki "memori"), Anda tidak dapat membuktikan kepadanya bahwa membalik koin independen dengan argumen kata belaka. Saya akan menyarankan menggunakan simulasi untuk menegaskan klaim Anda tetapi, jujur ​​saja, jika teman Anda tidak percaya bahwa koin membalik independen, saya tidak yakin dia akan percaya hasil simulasi.

TrynnaDoStat
sumber
4

Untuk menyatakan kembali beberapa penjelasan yang sudah diberikan (oleh @TimB dan @James K), setelah Anda membalik koin 10 kali dan mendapat 10 kepala, kemungkinan mendapatkan 10 kepala berturut-turut adalah tepat 1,0! Itu sudah terjadi, jadi kemungkinan terjadinya itu sekarang sudah diperbaiki.

Ketika Anda mengalikannya dengan kemungkinan mendapatkan head pada flip Anda berikutnya (0,5), Anda mendapatkan tepat 0,5.

Bertaruh pada ekor dengan apa pun selain peluang bahkan pada titik itu adalah taruhan pengisap.

Terry L.
sumber
4

hal10=(12)10=11024<0,1%
α=1%H0HSebuah12

hal=12π>12

Contoh UPDATE @oerkelens dapat diartikan dalam dua cara.

  • teman Anda bertaruh pada THHTTHTTHT, lalu melemparkan koin 10 kali dan mendapat: THHTTHTTHT. Dalam hal ini Anda akan sama terkejutnya dengan 10 kepala berturut-turut, dan mulai meragukan keadilan sebuah koin. Anda tidak yakin apa yang harus dipikirkan tentang kemungkinan ekor di lemparan berikutnya, karena teman Anda tampaknya bisa mendapatkan apa yang dia inginkan, ini tidak acak.
  • hal=10!6!4!2100,212

1-(1210)100,0001

UNTUK ORANG KOMPUTER Jika teman Anda adalah pemrogram komputer maka saya menemukan bahwa cara termudah untuk menarik intuisi mereka adalah melalui pemrograman. Minta mereka untuk memprogram eksperimen lempar koin. Mereka akan berpikir sedikit kemudian membuat sesuatu seperti ini:

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

Anda akan bertanya kepada mereka

di mana kode Anda untuk menangani 10 kepala berturut-turut di sini? Tampaknya dalam kode Anda terlepas dari apa yang terjadi dalam 10 loop pertama, lemparan ke-11 memiliki 0,5 kemungkinan kepala.

Namun, kasus ini menarik bagi lemparan koin yang adil. Kode ini dirancang dengan lemparan koin yang adil. Dalam hal 10 kepala, sangat kecil kemungkinan koin itu adil.

Aksakal
sumber
Tetapi OP ingin meyakinkan teman-temannya, dan teman-teman itu percaya bahwa kesempatan untuk kepala lain lebih kecil dari 1/2.
Oerkelens
Begitulah nyaman bagi Anda untuk menjebak dan menafsirkan pertanyaannya. Apakah Anda pernah melihat 10 kepala berturut-turut dengan koin yang adil?
Aksakal
3
Saya tidak membingkai, saya membaca :) Pertanyaannya menyatakan: Apakah 10 kepala berturut-turut meningkatkan kemungkinan lemparan berikutnya menjadi ekor? , Kekeliruan Penjudi. Pendekatan Anda menarik, tetapi tidak menjawab mengapa jika koin yang adil peluangnya masih 50/50 :) Mengingat pernah melihat 10 kepala berturut-turut dengan koin yang adil, izinkan saya bertanya kepada Anda apakah Anda pernah melihat yang berikut ini seri: THTHTHTTHT? Karena itu adalah sebagai mungkin dengan melihat HHHHHHHHHH. Anehnya, disajikan dengan seri itu, formula Anda juga harus memutuskan koin itu tidak adil.
Oerkelens
@erkerkens, memperbarui jawaban saya untuk komentar Anda, terima kasih
Aksakal
3

Dalam keadaan ideal jawabannya adalah tidak. Setiap lemparan tidak tergantung pada apa yang terjadi sebelumnya. Jadi jika ini adalah koin yang benar-benar adil maka itu tidak masalah. Tetapi jika Anda tidak yakin apakah koin itu salah atau tidak (yang bisa terjadi dalam kehidupan nyata), urutan ekor yang panjang mungkin membuat orang percaya bahwa itu tidak adil.

Nicolas Bourbaki
sumber
3
Tidak tidak Tidak! Tidak ada yang namanya "koin tidak adil". Ini hanya penemuan statistik buku pegangan. Lihat: stat.columbia.edu/~gelman/research/published/diceRev2.pdf
Tim
@ Tim Bagaimana jika koin memiliki kedua sisi kepala? Lebih serius, saya mengerti apa yang Anda katakan. Tidak ada koin yang terlihat asli tetapi tidak seimbang. Saya tidak tahu hal itu.
Nicolas Bourbaki
1
@Tim Yah, saya matematika, jadi saya tidak terlalu peduli jika konsepnya realistis! Saya hanya berpura-pura ada koin seperti itu misalnya. Tetapi di masa depan, jika saya harus mengajarkan teori probabilitas lagi, saya akan memberi tahu para siswa bahwa secara realistis koin seperti itu tidak ada.
Nicolas Bourbaki
1
@Tim IIRC, tidak ada koin yang tidak adil untuk semua maksud dan tujuan praktis, namun itu tidak berarti bahwa koin apa pun justru adil. Jika Anda memiliki ukuran sampel yang tak terbatas, Anda dapat mendeteksi perbedaan kecil yang "signifikan secara statistik" secara sewenang-wenang, dan tidak ada objek dunia nyata yang berperilaku persis seperti yang disarankan oleh model teoretisnya.
Dikran Marsupial
1
@Tim referensi itu tidak mengatakan tidak ada 'koin tidak adil', ia mengatakan secara khusus dalam kasus membalik koin itu tidak adil (dan bahkan dengan ini, menggunakan tangan orang, bukan gravitasi), dan itu terbukti secara empiris oleh siswa membalik koin. Studi ini tidak benar membandingkan koin dengan dadu, karena mengklaim dadu dapat ditimbang, tetapi tidak mencoba membalikkannya di tangan.
user-2147482637
3

Jawaban ini akan bekerja untuk semua pertanyaan semacam ini, termasuk masalah Monty Hall. Cukup tanyakan kepada mereka apa yang mereka pikirkan kemungkinan mendapatkan ekor setelah sepuluh kepala. Tawarkan untuk bermain mereka untuk sedikit lebih baik (untuk mereka) tetapi masih di bawah peluang 50-50. Dengan sedikit keberuntungan mereka akan setuju untuk membiarkan komputer melakukan flipping dalam hal ini Anda akan dengan cepat memiliki sejumlah uang di saku Anda. Kalau tidak, akan memakan waktu lebih lama tetapi hasilnya (pasti) sama.

aginensky
sumber
+1. Tentu saja, pertama Anda harus cukup sabar untuk terus membalik koin sampai sepuluh kepala berturut-turut muncul!
whuber
Ya, dan siapa yang ingin menunggu rata-rata 2046 membalik untuk melihat itu?
soakley
dan itulah sebabnya saya katakan jika dia beruntung mereka akan menerima flip komputer. Meskipun demikian, ini adalah uang gratis untuk orang percaya di MP dan pelajaran murah untuk orang yang tidak percaya. Saya tentu tidak pernah menyarankan agar op menahan napas menunggu acara. Selain itu, tidak ada yang ajaib tentang 10, mereka harus percaya bahwa 9, 8, ... bahkan 2 kepala berturut-turut mempengaruhi peluang. Sekarang waktu tunggu untuk melempar koin tampaknya masuk akal
melempar
0

Bagaimana Anda meyakinkan mereka? Salah satu caranya adalah dengan menunjukkan distribusi hasil dari masalah yang dijelaskan.

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])
Henry E
sumber
-3

100,510

  • jika membuntuti, kita masih berakhir dengan merekam serangkaian peristiwa yang sangat langka dengan kemungkinan 0,510
  • 0,511

Dan perbedaan antara keduanya hanyalah satu lemparan koin yang adil.

Coulminer
sumber
Dalam peluru pertama, tepatnya "acara" apa yang Anda referensikan?
whuber
bahkan dari "berada di sana", maaf melihat typo
coulminer
1
0,510
0,5 ^ 10 * 1 ^ 1 Saya hanya tinggal di alam semesta di mana kita hanya peduli dengan total kepala berturut
coulminer
Saya tidak mengerti. Setelah kepala kesepuluh, lemparan berikutnya memiliki peluang 50% untuk mendarat, tetapi Anda mengatakan bahwa itu sebenarnya hasil yang sedikit lebih kecil kemungkinannya. Itukah yang kamu katakan?
Smig