Transformasi linear dari variabel acak dengan matriks persegi panjang yang tinggi

Katakanlah kita memiliki vektor acak , diambil dari distribusi dengan fungsi kerapatan probabilitas f → X ( → x ) . Jika kita mengubahnya secara linear dengan peringkat penuh n × n matriks A untuk mendapatkan → Y = A → X , maka kepadatan → Y diberikan oleh f → Y ( → y ) = $\vec{X} \in \mathbb{R}^n$$f_\vec{X}(\vec{x})$$n \times n$$A$$\vec{Y} = A\vec{X}$$\vec{Y}$

$$f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}).$$

Sekarang katakanlah kita mengubah sebagai gantinya dengan m × n matriks B , dengan m > n , memberi → Z = $\vec{X}$$m \times n$$B$$m > n$ . JelasZ∈Rm, tetapi "hidup pada" sebuahnberdimensi ruang bagianG⊂Rm. Berapakah densitas bersyarat dari → Z , mengingat bahwa kita tahu itu terletak padaG?$\vec{Z} = B\vec{X}$$Z \in \mathbb{R}^m$$n$$G \subset \mathbb{R}^m$$\vec{Z}$$G$

Insting pertama saya adalah untuk menggunakan pseudo-inverse dari . Jika B = U S V T adalah dekomposisi nilai singular B , maka B + = $B$$B = U S V^T$$B$ adalah pseudo-inverse, di mana S + dibentuk dengan membalik non zero-entri dari matriks diagonal S . Saya menduga ini akan memberikan f → Z ( → z ) = $B^+ = V S^+ U^T$$S^+$$S$ mana olehdet+S yangsaya maksud adalah produk dari nilai singular non-nol.

$$f_\vec{Z}(\vec{z}) = \frac{1}{\left|\det^+ S\right|} f_\vec{X}(B^+ \vec{z}),$$ $\det^+ S$

Alasan ini setuju dengan kepadatan untuk normal tunggal (dikondisikan pada pengetahuan bahwa variabel hidup pada subruang yang sesuai) yang diberikan di sini dan disebutkan juga di sini dan di pos CrossValidated ini .

Tapi itu tidak benar! Konstanta normalisasi tidak aktif. Contoh tandingan (sepele) diberikan dengan mempertimbangkan kasus berikut: Dengan , misalkan → Y = ( 1 1 ) X = ( X X$X \sim \mathcal{N(0, 1)}$ Di sini matriks B dari atas hanyalah vektor. Its pseudo-inverse adalah B + = ( 1 / 2 1 / 2 ) dan det + B =

$$\vec{Y} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}X \\ X\end{pmatrix}.$$ $B$ $$B^+ = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2\end{pmatrix}$$ . Alasan dari atas akan menyarankanf → Y ( → y )=$\det^+ B = \sqrt{2}$ tetapi ini sebenarnya terintegrasi (pada barisy=x) ke $$f_\vec{Y}(\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^T (B^+)^T B^+ \vec{y}\right),$$ $y = x$ . Saya menyadari dalam hal ini Anda bisa saja menjatuhkan salah satu entri→YAnda selesai, tetapi ketikaBjauh lebih besar, mengidentifikasi set entri yang akan dihapus itu mengganggu. Mengapa penalaran pseudo-terbalik bekerja? Apakah ada rumus umum untuk fungsi kerapatan dari transformasi linear dari serangkaian variabel acak oleh matriks "tinggi"? Referensi apa pun akan sangat dihargai juga.$\frac{1}{\sqrt{2}}$$\vec{Y}$$B$

$y = x$$x$$\sqrt{2}$$x \mapsto (x, x)$$\vec{y}$$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$

$B$$G$$B$$m \times n$$L$$B$

$$f_{\vec{Z}}(\vec{z}) = \frac{\left|\det^+ L\right|}{\left|\det^+ B\right|}f_{\vec{X}}(B^+ \vec{z}).$$

$B$$\vec{z}$$\hat B$$n \times n$$B$