Apa logika di balik metode momen?

Mengapa dalam "Metode Momen", kami menyamakan momen sampel dengan momen populasi untuk menemukan estimator titik?

Di mana logika di balik ini?

intuition method-of-moments pengguna 31466
sumber

Alangkah baiknya jika kita memiliki fisikawan di komunitas kita untuk mengatasi yang ini.

mugen

@mugen, saya tidak melihat hubungan dengan fisika sama sekali.

Aksakal

@ Aksakal mereka menggunakan momen fungsi dalam fisika juga, dan selalu menyenangkan ketika seseorang membuat paralel untuk interpretasi yang lebih baik.

mugen

Seperti disebutkan dalam jawaban ini , hukum bilangan besar memberikan justifikasi (walaupun asimtotik) untuk memperkirakan momen populasi dengan momen sampel, menghasilkan (sering) penduga yang

Glen_b -Reinstate Monica

Bukankah seluruh idenya adalah untuk mewakili parameter menggunakan momen? Seperti jika Anda mencoba memperkirakan parameter distribusi Poisson, dengan menemukan rata-rata (momen pertama) Anda dapat menggunakannya sebagai estimator untuk parameter Anda lambda.

denis631

Jawaban:

Sampel yang terdiri dari realisasi dari variabel acak yang terdistribusi secara identik dan independen adalah ergodik. Dalam kasus seperti itu, "momen-momen sampel" adalah penduga yang konsisten dari momen-momen teoretis dari distribusi umum, jika momen-momen teoretis itu ada dan terbatas. $n$

Ini artinya

\begin{matrix} (1) & {\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) + e_{k} (n), e_{k} (n) \overset{hal}{\to} 0 \end{matrix}

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$

Jadi dengan menyamakan momen teoretis dengan momen sampel terkait yang kita miliki

{\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) \Rightarrow \hat{θ} (n) = μ_{k}^{- 1} ({\hat{μ}}_{k} (n)) = μ_{k}^{- 1} [μ_{k} (θ) + e_{k} (n)]

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$

Jadi ( tidak tergantung pada ) $\mu_k$ $n$

Plim \hat{θ} (n) = Plim [μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + e_{k})] = μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + Plim e_{k} (n))

$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$

= μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + 0) = μ_{k}^{- 1} μ_{k} (θ) = θ

$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$

Jadi kami melakukan itu karena kami memperoleh penduga yang konsisten untuk parameter yang tidak diketahui.

Alecos Papadopoulos
sumber

apa arti "plim"? Saya tidak terbiasa dengan "p" dalam

e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0

$e_k(n) \xrightarrow{p} 0$

pengguna 31466

@leaf probability limit

Alecos Papadopoulos

Apa yang akan terjadi jika itu adalah batas reguler dan bukan batas probabilitas?

pengguna 31466

Ini akan memberi tahu kita bahwa penaksir menjadi konstanta, bukan yang cenderung probabilistik. Mungkin Anda harus mencari mode konvergensi variabel acak, wikipedia memiliki pengantar yang layak, en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables

Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Setuju. Saya bertanya-tanya lalu apakah masuk akal untuk meletakkan sesuatu yang sederhana seperti "... dan dalam kondisi tertentu pada

μ_{k}

$\mu_k$

Jerome Baum

Ahli ekonometrika menyebut ini "prinsip analogi". Anda menghitung mean populasi sebagai nilai yang diharapkan sehubungan dengan distribusi populasi; Anda menghitung estimator sebagai nilai yang diharapkan sehubungan dengan distribusi sampel, dan ternyata menjadi mean sampel. Anda memiliki ekspresi terpadu tempat Anda memasukkan populasi , katakanlah

T (F) = \int t (x) d F (x)

$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$

F (x)

$F(x)$

atau sampel

F (x) = \int_{\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(u - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] d u

$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$

, sehingga

adalah sekelompok fungsi delta, dan integral (Lebesgue) berkenaan dengan

adalah jumlah sampel

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 {x_{i} \leq x}

$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

. Jika

fungsional Anda

(lemah) terdiferensiasi, dan

menyatu dalam pengertian yang sesuai dengan

, maka mudah untuk menetapkan bahwa perkiraan itu konsisten, walaupun tentu saja lebih banyak kehebohan diperlukan untuk dapatkan katakan normalitas asimptotik.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} t (x_{i})

$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$

T (\cdot)

$T(\cdot)$

F_{n} (x)

$F_n(x)$

F (x)

$F(x)$

Tugas
sumber

Saya belum pernah mendengar ini disebut "prinsip analogi", tetapi ini memang merupakan pola analisis ekonometrik yang sering digunakan: hubungkan penduga sampel kapan pun parameter populasi dibutuhkan tetapi tidak diketahui.

Aksakal

@Aksakal: "tancapkan estimator sampel setiap kali parameter populasi diperlukan tetapi tidak diketahui." bukankah pendekatan ini hanya disebut statistik?

user603

@ user603: Tidak, tidak. Ada beberapa pendekatan alternatif lain, dan penduga masuk dapat menjadi buruk.

kjetil b halvorsen