Apa logika di balik metode momen?

20

Mengapa dalam "Metode Momen", kami menyamakan momen sampel dengan momen populasi untuk menemukan estimator titik?

Di mana logika di balik ini?

pengguna 31466
sumber
2
Alangkah baiknya jika kita memiliki fisikawan di komunitas kita untuk mengatasi yang ini.
mugen
4
@mugen, saya tidak melihat hubungan dengan fisika sama sekali.
Aksakal
2
@ Aksakal mereka menggunakan momen fungsi dalam fisika juga, dan selalu menyenangkan ketika seseorang membuat paralel untuk interpretasi yang lebih baik.
mugen
1
Seperti disebutkan dalam jawaban ini , hukum bilangan besar memberikan justifikasi (walaupun asimtotik) untuk memperkirakan momen populasi dengan momen sampel, menghasilkan (sering) penduga yang
Glen_b -Reinstate Monica
Bukankah seluruh idenya adalah untuk mewakili parameter menggunakan momen? Seperti jika Anda mencoba memperkirakan parameter distribusi Poisson, dengan menemukan rata-rata (momen pertama) Anda dapat menggunakannya sebagai estimator untuk parameter Anda lambda.
denis631

Jawaban:

14

Sampel yang terdiri dari realisasi dari variabel acak yang terdistribusi secara identik dan independen adalah ergodik. Dalam kasus seperti itu, "momen-momen sampel" adalah penduga yang konsisten dari momen-momen teoretis dari distribusi umum, jika momen-momen teoretis itu ada dan terbatas. n

Ini artinya

(1)μ^k(n)=μk(θ)+ek(n),ek(n)hal0

Jadi dengan menyamakan momen teoretis dengan momen sampel terkait yang kita miliki

μ^k(n)=μk(θ)θ^(n)=μk-1(μ^k(n))=μk-1[μk(θ)+ek(n)]

Jadi ( tidak tergantung pada n )μkn

Plimθ^(n)=Plim[μk-1(μk(θ)+ek)]=μk-1(μk(θ)+Plimek(n))

=μk-1(μk(θ)+0)=μk-1μk(θ)=θ

Jadi kami melakukan itu karena kami memperoleh penduga yang konsisten untuk parameter yang tidak diketahui.

Alecos Papadopoulos
sumber
apa arti "plim"? Saya tidak terbiasa dengan "p" dalam ek(n)hal0
pengguna 31466
@leaf probability limit
Alecos Papadopoulos
Apa yang akan terjadi jika itu adalah batas reguler dan bukan batas probabilitas?
pengguna 31466
Ini akan memberi tahu kita bahwa penaksir menjadi konstanta, bukan yang cenderung probabilistik. Mungkin Anda harus mencari mode konvergensi variabel acak, wikipedia memiliki pengantar yang layak, en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables
Alecos Papadopoulos
1
@AlecosPapadopoulos Setuju. Saya bertanya-tanya lalu apakah masuk akal untuk meletakkan sesuatu yang sederhana seperti "... dan dalam kondisi tertentu pada "? μk
Jerome Baum
12

Ahli ekonometrika menyebut ini "prinsip analogi". Anda menghitung mean populasi sebagai nilai yang diharapkan sehubungan dengan distribusi populasi; Anda menghitung estimator sebagai nilai yang diharapkan sehubungan dengan distribusi sampel, dan ternyata menjadi mean sampel. Anda memiliki ekspresi terpadu tempat Anda memasukkan populasi F ( x ) , katakanlah F ( x ) = x 1

T(F)=t(x)dF(x)
F(x) atau sampel F n ( x ) = 1F(x)=x12πσ2exp[-(kamu-μ)22σ2]dkamu, sehinggadFn(x)adalah sekelompok fungsi delta, dan integral (Lebesgue) berkenaan dengandFn(x)adalah jumlah sampel1Fn(x)=1nsaya=1n1{xsayax}dFn(x)dFn(x). JikaTfungsional Anda()(lemah) terdiferensiasi, danFn(x)menyatu dalam pengertian yang sesuai denganF(x), maka mudah untuk menetapkan bahwa perkiraan itu konsisten, walaupun tentu saja lebih banyak kehebohan diperlukan untuk dapatkan katakan normalitas asimptotik.1nsaya=1nt(xsaya)T()Fn(x)F(x)
Tugas
sumber
1
Saya belum pernah mendengar ini disebut "prinsip analogi", tetapi ini memang merupakan pola analisis ekonometrik yang sering digunakan: hubungkan penduga sampel kapan pun parameter populasi dibutuhkan tetapi tidak diketahui.
Aksakal
@Aksakal: "tancapkan estimator sampel setiap kali parameter populasi diperlukan tetapi tidak diketahui." bukankah pendekatan ini hanya disebut statistik?
user603
@ user603: Tidak, tidak. Ada beberapa pendekatan alternatif lain, dan penduga masuk dapat menjadi buruk.
kjetil b halvorsen