Penaksir kemungkinan maksimum untuk minimum distribusi eksponensial

Saya terjebak pada bagaimana mengatasi masalah ini.

Jadi, kita memiliki dua urutan variabel acak, $X_i$ dan $Y_i$ untuk $i=1,...,n$ . Sekarang, $X$ dan $Y$ adalah distribusi eksponensial independen dengan parameter $\lambda$ dan $\mu$ . Namun, alih-alih mengamati $X$ dan $Y$ , kita amati bukan $Z$ dan $W$ .

W = 1 Z i = X i Z i = Y i λ μ Z $Z=\min(X_i,Y_i)$$W=1$$Z_i=X_i$$Z_i=Y_i$$\lambda$$\mu$$Z$$W$

Sekarang, saya tahu bahwa minimum dua eksponensial independen itu sendiri eksponensial, dengan laju yang sama dengan jumlah kurs, jadi kita tahu bahwa $Z$ eksponensial dengan parameter $\lambda+\mu$ . Jadi penaksir kemungkinan maksimum kami adalah: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ .

Tapi saya terjebak dengan ke mana harus pergi dari sini. Saya tahu bahwa adalah distribusi Bernoulli dengan parameter , tetapi saya tidak tahu bagaimana cara mengubahnya menjadi pernyataan tentang salah satu parameter. Misalnya, apa yang akan diestimasi oleh MLE dalam kaitannya dengan dan / atau ? Saya mengerti bahwa jika , maka , tapi saya mengalami kesulitan mencari tahu cara membuat pernyataan aljabar, di sini.p = P ( Z i = X i ) ˉ W λ μ Z i = X i μ = $W$$p=P(Z_i=X_i)$$\bar{W}$$\lambda$$\mu$$Z_i=X_i$$\mu=0$

UPDATE 1: Jadi saya telah diberitahu di komentar untuk menurunkan kemungkinan untuk distribusi gabungan dari dan .$Z$$W$

Jadi mana . Benar? Saya tidak tahu bagaimana lagi mendapatkan distribusi bersama dalam kasus ini, karena dan tidak independen.p = P ( Z i = X i ) Z $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$$p=P(Z_i=X_i)$$Z$$W$

Jadi ini memberi kita, , dengan definisi atas. Tapi sekarang bagaimana? Ini tidak membuat saya kemana-mana. Jika saya melalui langkah-langkah menghitung kemungkinan, saya mendapatkan: (menggunakan dan sebagai ukuran sampel untuk setiap bagian dari campuran ...) W m $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$$W$$m$$n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Jika saya mengambil derivatif parsial, ini memberitahu saya bahwa MLE saya memperkirakan untuk dan hanya rata-rata dari 's tergantung pada . Itu adalah,μ Z $\lambda$$\mu$$Z$$W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

dan

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

Saya tidak punya cukup poin untuk berkomentar, jadi saya akan menulis di sini. Saya pikir masalah yang Anda posting dapat dilihat dari perspektif analisis survival, jika Anda mempertimbangkan hal berikut:

$X_i$ : Waktu survival sejati,

$Y_i$ : Menyensor waktu,

Keduanya memiliki distribusi eksponensial dengan dan independen. Kemudian adalah waktu bertahan hidup yang diamati dan indikator penyensoran.Y Z i W $X$$Y$$Z_i$$W_i$

Jika Anda terbiasa dengan analisis survival, saya yakin Anda bisa mulai dari titik ini.

Catatan: Sumber yang baik: Analisis Data Kelangsungan Hidup oleh DRCox dan D.Oakes

Di bawah ini adalah contohnya: Mengasumsikan pdf dari distribusi waktu survival adalah . Maka fungsi survival adalah: . Dan kemungkinan log-nya adalah: S ( t ) = e - ρ $f(t)=\rho e^{-\rho t}$$S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

dengan penjumlahan atas orang yang tidak disensor ( ) dan orang yang disensor ( ) masing-masing.$u$$c$

Karena fakta bahwa mana h (t) adalah fungsi bahaya, ini dapat ditulis:$f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

Dan penaksir kemungkinan maksimum dari adalah:$\hat{\rho}$$\rho$

dWi=$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ mana adalah jumlah total kasus$d$$W_i=1$